Dans la théorie des probabilités, le Théorème de Borel-Cantelli, aussi appelé lemme de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la mesure.

Soit (E_n) une suite d'événements dans un espace probabilisé (Un espace probabilisé est un triplet formé d'un ensemble Ω, d'une tribu ou σ-algèbre sur Ω et d'une mesure P sur cette σ-algèbre telle que P(Ω) = 1.) donné. Le Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une...) affirme que :

Si la somme des probabilités de E_n est finie, alors la probabilité (Probabilité vient du latin probare (prouver, ou tester). Le mot probable signifie « qui peut se produire » dans le cas de futures éventualités, ou « certainement...) qu'une infinité d'entre eux se réalisent est nulle.

Notez que l'indépendance des événements n'est pas nécessaire.

Par exemple, supposons (X_n), une suite de variables aléatoires, avec P(X_n = 0) = 1/n² pour tout n. La somme des P(X_n = 0) est finie^[1], donc d'après le Théorème de Borel-Cantelli (Dans la théorie des probabilités, le Théorème de Borel-Cantelli, aussi appelé lemme de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la...) la probabilité que X_n = 0 se produise pour une infinité de n est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, X_n est non nul pour un nombre (Un nombre est un concept caractérisant une unité, une collection d'unités ou une fraction d'unité.) infini de n.

Pour des mesures spatiales générales, le Théorème de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Soit μ une mesure d'un jeu X, avec un σ F, et (A_n) une suite dans F. Si

alors μ(lim sup A_n) = 0.

Pour voir que c'est une généralisation de la version citée plus haut, il suffit de vérifier que lim sup A_n est est constituée des éléments de X qui sont dans A_n pour une infinité de valeurs de n.

Un résultat corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...), parfois appelé le second lemme de Borel-Cantelli :

Si les événements E_n sont indépendants et que la somme des probabilités de E_n tend vers l'infini, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se produisent est 1.

Notes