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Théorème de Borel-Cantelli

Dans la théorie des probabilités, le Théorème de Borel-Cantelli, aussi appelé lemme de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la mesure.

Soit (En) une suite d'événements dans un espace probabilisé (Un espace probabilisé est un triplet formé d'un ensemble Ω, d'une tribu ou σ-algèbre sur Ω et d'une mesure P sur cette σ-algèbre telle que P(Ω) = 1.) donné. Le Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) affirme que :

Si la somme des probabilités de En est finie, alors la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...) qu'une infinité d'entre eux se réalisent est nulle.

Notez que l'indépendance des événements n'est pas nécessaire.

Par exemple, supposons (Xn), une suite de variables aléatoires, avec P(Xn = 0) = 1/n2 pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n. La somme des P(Xn = 0) est finie[1], donc d'après le Théorème de Borel-Cantelli (Dans la théorie des probabilités, le Théorème de Borel-Cantelli, aussi appelé lemme de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la...) la probabilité que Xn = 0 se produise pour une infinité de n est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, Xn est non nul pour un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou...) de n.

Pour des mesures spatiales générales, le Théorème de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Soit μ une mesure d'un jeu X, avec un σ F, et (An) une suite dans F. Si

\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty,
alors μ(lim sup An) = 0.

Pour voir que c'est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce...) de la version citée plus haut, il suffit de vérifier que lim sup An est est constituée des éléments de X qui sont dans An pour une infinité de valeurs de n.

Un résultat corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...), parfois appelé le second lemme de Borel-Cantelli :

Si les événements En sont indépendants et que la somme des probabilités de En tend vers l'infini, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se produisent est 1.

Notes

  1. en fait elle vaut π2/6
Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0.

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