Relation ternaire interne
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Une relation ternaire interne dans un ensemble associe des éléments de cet ensemble à des couples formés d’éléments de ce même ensemble.

Définitions

Formellement, une relation ternaire interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le "Diplôme...) est une correspondance dont l’ensemble de départ est le carré cartésien de l’ensemble d’arrivée.

En d’autres termes, une relation ternaire interne \mathfrak{R} \, dans un ensemble E est la somme disjointe de trois ensembles :

  • un ensemble de départ, E×E ;
  • un ensemble d’arrivée, E ;
  • et un graphe G, inclus dans E 3, donc formé de triplets d’éléments de E.

Si x, y et z sont trois éléments de E , nous pouvons écrire que z est image par \mathfrak{R} \, du couple ( x , y ) de plusieurs manières :

  • ( x , y , z ) ∈ G   (notation ensembliste)
  • ( x , y , z )\mathfrak{R}   (notation relationnelle postfixée)
  • \mathfrak{R}( x , y , z )   (notation relationnelle préfixée)
  • ( x , y ) \mathfrak{R} \, z   (notation relationnelle infixée)

Nous utiliserons dans la suite cette dernière notation.

Cas particuliers :

  • Une opération interne est une relation ternaire interne qui est aussi une fonction.
  • Une loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des...) est une relation ternaire interne qui est aussi une application.

Exemples

  • La relation d'équidistance dans un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace...), c'est-à-dire muni d'une distance d :
Un point A est équidistant de deux points B et C ssi d ( A , B ) = d ( A , C )
Ce n'est ni une opération, ni une loi de composition (En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une...) interne.
  • L' exponentiation Exp définie par :   [ ( x , y ) Exp z ] ⇔ [ z = x y ]  
C'est une opération interne dans \mathbb{R} \, , à condition de donner un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) unique à x y quand il y a ambiguïté; ce n'est pas une loi interne dans \mathbb{R} \, : par exemple, ( - 1 ) 1 / 2 n'a pas de sens dans \mathbb{R} \, .
  • La différence de deux ensembles Diff :   [ ( A , B ) Diff C ] ⇔ [ C = A \ B ] .
C'est une loi interne dans l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) des ensembles, ou dans l'ensemble des parties d'un ensemble.
  • Parmi les êtres humains, la relation " sont respectivement père et mère de " n'est ni une opération, ni une loi interne : un couple peut être sans enfants ou en avoir plusieurs.
  • Les quatre " opérations " de notre enfance (addition, soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre, appelé la...), multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) et division) sont bien des opérations car leur résultat, quand il est défini, l'est toujours sans ambiguïté.

Propriétés

Soit un ensemble E muni d’une relation ternaire interne \mathfrak{R} \,. Remarques :

  • Les propriétés suivantes s’appliquent évidemment aussi aux lois de composition internes, mais sous une forme simplifiée par l'emploi d'une notation fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et...) (z = f ( x, y ) ou z = x *\, y ).
  • Attention : un couple peut très bien avoir plusieurs images par \mathfrak{R} \,.
  • La liste de propriétés qui suit n’est pas exhaustive.

Existence d’éléments remarquables

  • \mathfrak{R} \, est idempotente si et seulement si tout élément x de E est image par \mathfrak{R} \, du couple ( x , x )
ou :
\forall\, x \in E , ( x , x ) \,\mathfrak{R} \, x \,
  • \mathfrak{R} \, est dévolutive si et seulement s’il existe un élément de E image par \mathfrak{R} \, de tout couple de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) de E
ou :
\exists\ d \in E /\ \forall\, x \in E , ( x , x ) \,\mathfrak{R} \, d \,
  • \mathfrak{R} \, est unifère à gauche si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la première composante a pour image par \mathfrak{R} \, sa seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La...) composante
ou :
\exists\ e \in E /\ \forall\, x \in E , ( e , x ) \,\mathfrak{R} \, x \,
  • \mathfrak{R} \, est unifère à droite si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la seconde composante a pour image par \mathfrak{R} \, sa première composante
ou :
\exists\ e \in E /\ \forall\, x \in E , ( x , e ) \,\mathfrak{R} \, x \,
  • \mathfrak{R} \, est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et à droite avec le même élément neutre.
  • \mathfrak{R} \, est absorbante à gauche si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la première composante l’a pour image par \mathfrak{R} \,
ou :
\exists\ a \in E /\ \forall\, x \in E , ( a , x ) \,\mathfrak{R} \, a \,
  • \mathfrak{R} \, est absorbante à droite si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la seconde composante l’a pour image par \mathfrak{R} \,
ou :
\exists\ a \in E /\ \forall\, x \in E , ( x , a ) \,\mathfrak{R} \, a \,
  • \mathfrak{R} \, est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et à droite avec le même élément absorbant.
  • \mathfrak{R} \, est involutive à gauche si et seulement si elle est dévolutive et unifère à gauche avec l’élément dévolutif pour élément neutre.
  • \mathfrak{R} \, est involutive à droite si et seulement si elle est dévolutive et unifère à droite avec l’élément dévolutif pour élément neutre.
  • \mathfrak{R} \, est involutive si et seulement si elle est involutive à gauche et à droite avec le même élément involutif.
  • \mathfrak{R} \, est nilpotente à gauche si et seulement si elle est dévolutive et absorbante à gauche avec l’élément dévolutif pour élément absorbant.
  • \mathfrak{R} \, est nilpotente à droite si et seulement si elle est dévolutive et absorbante à droite avec l’élément dévolutif pour élément absorbant.
  • \mathfrak{R} \, est nilpotente si et seulement si elle est nilpotente à gauche et à droite avec le même élément nilpotent (En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que .).

Régularité et propriétés apparentées

  • \mathfrak{R} \, est régulière à gauche si et seulement si pour toute paire de couples d’éléments de E de même première composante, les deux couples n’ont pas d’image commune par \mathfrak{R} \,
ou :
\forall ( x , y , z , t ) \in E^{\, 4} , [ ( x , z ) \mathfrak{R} \, t \wedge ( x , y ) \mathfrak{R} \, t ] \Rightarrow [ z = y ] \,
  • \mathfrak{R} \, est régulière à droite si et seulement si pour toute paire de couples d'éléments de E de même seconde composante, les deux couples n'ont pas d'image commune par \mathfrak{R} \,
ou :
\forall ( x , y , z , t ) \in E^{\, 4} , [ ( x , z ) \mathfrak{R} \, t \wedge ( y , z ) \mathfrak{R} \, t ] \Rightarrow [ x = y ] \,
  • \mathfrak{R} \, est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et à droite.
  • \mathfrak{R} \, est antirégulière si et seulement si pour toute paire de couples d'éléments de E dont la première composante de l'un est égale à la seconde composante de l'autre, les deux couples n'ont pas d'image commune par \mathfrak{R} \,
ou :
\forall ( x , y , z , t ) \in E^{\, 4} , [ ( x , z ) \mathfrak{R} \, t \wedge ( y , x ) \mathfrak{R} \, t ] \Rightarrow [ z = y ] \,

Associativité et propriétés analogues

  • \mathfrak{R} \, est associative si et seulement si elle vérifie la propriété suivante :
\forall ( u , v , w , x , y , z ) \in E^{\, 6} , [ ( x , y ) \mathfrak{R} \, u \wedge ( u , z ) \mathfrak{R} \, w \wedge ( y , z ) \mathfrak{R} \, v ] \Rightarrow [ ( x , v ) \mathfrak{R} \, w ] \,
  • \mathfrak{R} \, est associative des puissances si et seulement si elle vérifie la propriété suivante :
\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , x ) \mathfrak{R} \, y \wedge ( x , y ) \mathfrak{R} \, z ] \Rightarrow [ ( y , x ) \mathfrak{R} \, z ] \,
  • \mathfrak{R} \, est permutative si et seulement si elle vérifie la propriété suivante :
\forall ( r , s , t , u , v , w , x , y , z ) \in E^{\, 9} ,  \,
[ ( x , y ) \mathfrak{R} \, z \wedge ( u , v ) \mathfrak{R} \, w \wedge ( x , u ) \mathfrak{R} \, r \wedge ( y , v ) \mathfrak{R} \, s \wedge ( z , w ) \mathfrak{R} \, t ] \Rightarrow [ ( r , s ) \mathfrak{R} \, t ] \,

Autres propriétés

  • \mathfrak{R} \, est commutative si et seulement si toute image par \mathfrak{R} \, d'un couple est aussi image du couple réciproque
ou :
\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) \mathfrak{R} \, z ] \Rightarrow [ ( y , x ) \mathfrak{R} \, z ] \,

Relation ternaire opposée

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) et exemples

Soit un ensemble E muni d'une relation ternaire interne \mathfrak{R} \,.

La relation ternaire opposée à \mathfrak{R} \, est la relation ternaire interne notée " - \mathfrak{R} \, " , et définie par :

\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) (-\mathfrak{R}) \, z ] \Leftrightarrow [ ( y , x ) \mathfrak{R} \, z ] \,

Par exemple, la relation opposée à l' exponentiation Exp définie par :   [ ( x , y ) Exp z ] ⇔ [ z = x y ]   est la relation z = y x .

Un autre exemple est la différence de deux ensembles Diff :   [ ( A , B ) Diff C ] ⇔ [ C = A \ B ] .
Sa relation opposée est définie par [ ( A , B ) (-Diff) C ] ⇔ [ C = B \ A ].

Ou encore, parmi les êtres humains, la relation " sont respectivement père et mère de " a pour opposée la relation " sont respectivement mère et père de ".

Propriétés

  • Chaque relation ternaire interne a une relation opposée et une seule.
  • Toute relation ternaire est l'opposée de son opposée.
  • L'opposée d'une relation ternaire est une opération si et seulement si cette relation est une opération.
  • L'opposée d'une relation ternaire est une loi de composition si et seulement si cette relation est une loi de composition.
  • Une relation ternaire se confond avec son opposée si et seulement si elle est commutative.

Relations ternaires inverses

Définitions et exemples

Soit un ensemble E muni d'une relation ternaire interne \mathfrak{R} \,.

La relation ternaire inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) à gauche ( ou RTIG) de la relation \mathfrak{R} \, est la relation ternaire interne notée " \lceil \mathfrak{R} \, " , et définie par :

\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) \lceil \mathfrak{R} \, z ] \Leftrightarrow [ ( z , y ) \mathfrak{R} \, x ] \,

La relation ternaire inverse à droite ( ou RTID) de la relation \mathfrak{R} \, est la relation ternaire interne notée " \mathfrak{R} \rceil \, " ou " \rceil \mathfrak{R} \, ", et définie par :

\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) \mathfrak{R} \rceil  \, z ] \Leftrightarrow [ ( y , z ) \mathfrak{R} \, x ] \,

Pour clarifier ces notions reprenons l'exemple de l'exponentiation Exp.

  • Sa RTIG est définie par : z = x 1/y ; autrement dit, c'est la racine y-ième de x;
  • Sa RTID est définie par : z = log y x ; autrement dit, c'est le logarithme en base y de x.

Si \mathfrak{R} \, est commutative, sa RTIG et sa RTID se confondent en une seule relation ternaire inverse (RTI) notée " \bar \mathfrak{R} \, ".

Exemples :

  • la soustraction est la RTI de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même...);
  • la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce...) est la RTI de la multiplication;

Ces exemples montrent qu'en général les RTI ne sont pas commutatives; sauf exception, elles n'ont donc pas elles-mêmes de RTI, seulement une RTIG et une RTID distinctes, la RTIG n'étant autre que la relation ternaire initiale, et la RTID l'opposée de la RTI.

Ainsi, la soustraction, non commutative, a pour RTIG l'addition et pour RTID la relation opposée à la soustraction. Cette dernière, par ailleurs, a pour RTID l'addition et pour RTIG la soustraction.

Propriétés

  • Toute relation ternaire interne est la RTIG de sa RTIG, et la RTID de la RTID de sa RTID.
  • La RTIG de l'opposée d'une relation ternaire est la RTID de cette dernière.
  • La RTID de l'opposée d'une relation ternaire est la RTIG de cette dernière.
  • La RTID de la RTIG d'une relation ternaire interne est la relation opposée à sa RTID.
  • La RTID de la RTID d'une relation ternaire interne est la relation opposée à sa RTIG.

Dans les propriétés précédentes, des symétries apparaissent. Plus précisément, il est possible d'importer sur l'ensemble \{\, \mathfrak{R} , - \mathfrak{R} , \lceil \mathfrak{R} , \rceil \mathfrak{R} , - \lceil \mathfrak{R} , - \rceil \mathfrak{R} \,\} \, la structure du groupe des permutations à 3 éléments ( \mathfrak{R} \, joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et fermer la bouche et à mastiquer.) alors le rôle de l'élément neutre ).

  • \mathfrak{R} \, est régulière à gauche si et seulement si sa RTIG est une opération interne.
  • \mathfrak{R} \, est régulière à droite si et seulement si sa RTID est une opération interne.
  • Si \mathfrak{R} \, est commutative, alors elle est régulière si et seulement si sa RTI est une opération interne.
  • Si \mathfrak{R} \, est commutative, unifère et inversible, alors sa RTI est une loi de composition interne.
  • \mathfrak{R} \, est dévolutive si et seulement si sa RTIG est unifère à gauche , et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID l'est aussi.
  • \mathfrak{R} \, est unifère à gauche si et seulement si sa RTIG est dévolutive, et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID est unifère à droite.
  • \mathfrak{R} \, est unifère à droite si et seulement si sa RTIG est unifère à droite, et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID est dévolutive.
  • Si \mathfrak{R} \, est commutative, alors elle est unifère si et seulement si sa RTI est dévolutive et unifère à droite, c'est-à-dire involutive à droite.
  • \mathfrak{R} \, est permutative si et seulement si sa RTIG l'est aussi, et cette RTIG est permutative si et seulement si la RTID l'est aussi.

Exemples :

  • ( \mathbb{N} \,, + ) est un semigroupe; par conséquent, la soustraction est dans \mathbb{N} \, une opération interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 0;
  • de même, ( \mathbb{N}*, x ) est un semigroupe, d'où la division dans \mathbb{N}* est une opération interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 1;
  • ( \mathbb{Z} \,, + ) est un groupe abélien; par conséquent, la soustraction est dans \mathbb{Z} \, une loi interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 0, c'est-à-dire que ( \mathbb{Z} \,, - ) est un antigroupe;
  • de même, ( \mathbb{Q}*, x ) est un groupe abélien, d'où la division dans \mathbb{Q}* est une loi interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 1, c'est-à-dire que ( \mathbb{Q} \,*, / ) est aussi un antigroupe.
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