Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit " chiffre binaire ") les chiffres de la numération binaire. Ceux ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.
Les premiers nombres s'écrivent :
décimal binaire 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101
On passe d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues et en utilisant les tables d'additions suivantes:
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10
ainsi:
11 + 1 ==== 100
Détail :
1 + 1 = 10 => on pose 0, et retient 1 1 + 1(retenue) = 10 => on pose 0, et retient 1 0 + 1(retenue) = 1 => 1
L'arithmétique binaire (L'arithmétique binaire est la manière dont on mène les calculs en base 2 (système binaire).) (plus simplement le calcul binaire) est utilisé par les machines électroniques les plus courantes (calculatrices, ordinateurs, etc.) car la présence ou l'absence de courant peuvent servir à représenter les deux chiffres 0 et 1.
0 représente l'état fermé
1 représente l'état ouvert
Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) nombre peut s'écrire en binaire (se décompose en somme de puissances de 2), par exemple 35 se décompose en :
32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 1 1
On y trouvre 32, 2 et 1 et 32+2+1= 35...
Un nombre décimal à plusieurs chiffres tel que 123 s'exprime ainsi :
1 * 100 ( 1 * 102 ) + 2 * 10 ( 2 * 101 ) + 3 * 1 ( 3 * 100 )
Sa représentation en binaire est 1111011 et s'exprime de la même façon :
1 * 64 ( 1 * 26 ) + 1 * 32 ( 1 * 25 ) + 1 * 16 ( 1 * 24 ) + 1 * 8 ( 1 * 23 ) + 0 * 4 ( 0 * 22 ) + 1 * 2 ( 1 * 21 ) + 1 * 1 ( 1 * 20 )
suite de 1010-10100
Pour développer l'exemple ci-dessus, le nombre 45 853 écrit en base décimale provient de la somme de nombres ci-après écrits en base décimale. À dire vrai, pour proposer une méthode plus simple à comprendre, il faut trouver la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) de 2 la plus grande possible inférieure ou égale au nombre de départ. On soustrait au nombre d'origine (RO) cette puissance, en notant un 1, puis l'on cherche à nouveau un multiple (RM) pour le reste (Rr).
...
32 768 1 fois 32 768 en fait 2 multiplié 14 fois par lui même soit 215 + 0 0 fois 16 384 en fait 2 multiplié 13 fois par lui même soit 214 + 8 192 1 fois 8 192 idem 12 idem 213 + 4 096 1 fois 4 096 idem 11 idem 212 + 0 0 fois 2 048 idem 10 idem 211 + 0 0 fois 1 024 idem 9 idem 210 + 512 1 fois 512 idem 8 idem 29 + 256 1 fois 256 idem 7 idem 28 + 0 0 fois 128 idem 6 idem 27 + 0 0 fois 64 idem 5 idem 26 + 0 0 fois 32 idem 4 idem 25 + 16 1 fois 16 idem 3 idem 24 + 8 1 fois 8 idem 2 idem 23 + 4 1 fois 4 idem 1 idem 22 + 0 0 fois 2 idem 0 idem 21 = 2 + 1 1 fois 1 20 = 1 =45 853
Soit écrit en système positionnel et en numération (La numération désigne le mode de représentation des nombres. Aussi, elle concerne...) décimale (en écrivant les puissances de 2) :
45 853 = 1×215 + 0×214 + 1×213 + 1×212 + 0×211 + 0×210 + 1×29 + 1×28 + 0×27 + 0×26 + 0×25 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20
Soit en système positionnel et en numération binaire puisque l'on ne reporte pas les puissances de 2
45 853 décimal s'écrit 1011 0011 0001 1101 binaire (séparés par groupes de 4 bits pour aérer la lecture).
Ce nombre nécessite 16 bits pour son écriture (il est compris entre 215 et 216).
L'autre méthode pour convertir un nombre décimal en base 2 est d'utiliser des successions de divisions par le nombre 2. Ainsi, on a:
45853 / 2 = 22926 reste 1 22926 / 2 = 11463 reste 0 11463 / 2 = 5731 reste 1 5731 / 2 = 2865 reste 1 2865 / 2 = 1432 reste 1 1432 / 2 = 716 reste 0 716 / 2 = 358 reste 0 358 / 2 = 179 reste 0 179 / 2 = 89 reste 1 89 / 2 = 44 reste 1 44 / 2 = 22 reste 0 22 / 2 = 11 reste 0 11 / 2 = 5 reste 1 5 / 2 = 2 reste 1 2 / 2 = 1 reste 0 1 / 2 = 0 reste 1
Soit (en lisant les restes obtenus en sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) inverse): 1011001100011101
Les bases 8 (octale) et 16 (hexadécimale) sont des bases multiples de la base 2. Ces deux bases ont été couramment employées en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...) et pour des raisons pratiques; ces bases étant fortement liées à la base 2 et les nombres écrits dans ces bases étant plus "manipulables" (car d'écriture plus courte) par l'intellect humain. L'écriture de nombres dans ces bases est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'écriture du nombre en base 2.
On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.
Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire.
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