Critère d'Eisenstein
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En mathématiques, le critère d'Eisenstein donne des conditions suffisantes pour qu'un polynôme soit irréductible sur \mathbb{Q}\, (ou de la même façon irréductible sur \mathbb{Z}\,).

Considérons le polynôme suivant à coefficients entiers

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\,

Supposons qu'il existe un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette...) p\, tel que

  • p\, divise chaque a_i\, sauf a_n\,,
  • p^2\, ne divise pas a_0\,

Alors P(x)\, est irréductible.

Exemples

Considérons le polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique,...) P(x) = 3x^4 + 15x^2 + 10\,.

Nous examinons différents cas pour les valeurs de p\, suivantes

  • p = 2
    2 ne divise pas 15, on ne peut pas conclure
  • p = 3
    3 ne divise pas 10, on ne peut pas conclure
  • p = 5
    5 divise 15, le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un...) de x2, et 10 le coefficient constant. 5 ne divise pas 3, le coefficient dominant. En outre, 25 = 52 ne divise pas 10.
    Ainsi, nous concluons grâce au critère d'Eisenstein que P(x) est irréductible.

Dans certains cas le choix du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) premier peut ne pas être évident, mais peut être facilité par un changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un...) de la forme y = x + a, appelé translation.

Par exemple considérons h(x)=x^2 + x + 2\,. L'application du critère semble compromise puisque qu'aucun nombre premier ne divisera 1, le coefficient de x. Mais si nous translatons h (x) en h(x + 3) = x^2 + 7x + 14\, nous voyons immédiatement que le nombre premier 7 divise le coefficient de x et de le coefficient constant et que 49 ne divise pas 14. Ainsi en translatant le polynôme nous l'avons fait satisfaire le critère d'Eisenstein.

Un autre cas connu est celui du polynôme cyclotomique d'indice un entier premier p, c’est-à-dire le polynôme

\frac{(x^p - 1)}{(x - 1)} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \cdots + x + 1\,.

Ici, le polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, dans une nouvelle variable y après une translation x = y + 1. Le coefficient constant est alors égal à p ; les autres coefficients sont divisibles par p d'après les propriétés des coefficients binomiaux C_p^k\, (p! étant divisé par quelque chose n'impliquant pas p).

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur...) basique

Considérons P(X) comme un polynôme modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En...) p; c’est-à-dire un polynôme dont les coefficients ont été réduits à des nombres du corps \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\,. Il devient un polynôme de la forme c.Xnc est un nombre différent de 0. Puisque de tels polynômes se décomposent en produits de facteurs irréductibles de façon unique, toute factorisation de P (modulo p) ne doit faire intervenir que des monômes.

Maintenant si par l'absurde, P n'était pas irréductible comme polynôme à coefficients entiers, nous pourrions l'écrire sous la forme Q.R, et donc P modulo p sous la forme du produit de Q modulo p et R modulo p. Ces derniers devraient être des monômes, comme cela a été dit juste avant, ce qui signifierait que Q modulo p s'écrit sous la forme d. X k et R modulo p sous la forme e. Xn – kc = d. e.

Enfin les conditions données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) sur Q modulo p de R modulo p impliqueraient que p 2 divise a0, ce qui serait contradictoire avec les hypothèses. En fait a0 est égal à Q(0). R (0) et p divise les deux facteurs, d'après ce qui a été dit plus haut.

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