Projection de Mercator - Définition

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Un exemple de projection de Mercator
Un exemple de projection de Mercator
La projection de Mercator est cylindrique.
La projection de Mercator est cylindrique.

La projection de Mercator est une projection cylindrique du globe terrestre sur une carte plane nommée par Gerardus Mercator en 1569. Les parallèles et les méridiens sont des lignes droites et l'inévitable étirement Est-Ouest en dehors de l'équateur est accompagné par un étirement Nord-Sud correspondant, de telle sorte que l'échelle Est-Ouest est partout semblable à l'échelle Nord-Sud. Une carte de Mercator ne peut couvrir les pôles : ils seraient infiniment hauts.

Il s'agit d'une projection conforme, c’est-à-dire qu'elle conserve les angles. Toute ligne droite sur une carte de Mercator est une ligne d'azimut constant. Ceci la rend particulièrement utile aux marins, même si le trajet ainsi défini n'est généralement pas sur un grand cercle et n'est donc pas le chemin le plus court.
À l'époque des grands voiliers, la durée du voyage était soumise aux éléments, et donc la distance du trajet était moins importante que la direction, surtout parce que la longitude était difficile à calculer précisément.

Les cartes traditionnelles inspirées des travaux de Mercator destinés à la navigation ont pour principal défaut de nous donner une idée erronée des surfaces occupées par les différentes régions du monde, et donc des rapports entre les peuples.
Quelques exemples :
L’Amérique du Sud semble plus petite que le Groenland ; en réalité, elle est neuf fois plus grande : 17,8 millions de km² contre 2,1 millions. L’Inde (3,3 millions de km²) semble plus petite que la Scandinavie (1,1 million de km²). L’Europe (9,7 millions de km²) semble plus étendue que l’Amérique du Sud, pourtant près de deux fois plus grande.

Le choix de la projection peut donc être un outil de centrage ou même de propagande. Sur les premières projections, la carte est européocentrée, c'est-à-dire que l'Europe apparaît au centre. Quelques siècles après, les États-Unis emploient une carte qui place le continent américain au centre de la représentation. Le continent asiatique étant scindé en deux.

Formules

Les équations suivantes déterminent les coordonnées x et y d'un point sur une carte de Mercator à partir de sa latitude φ et de sa longitude λ (avec λ0 au centre de la carte)

\begin{matrix} x &=& \lambda - \lambda_0 \\ y &=& \ln \left[ \tan \left( \frac {1} {4} \pi + \frac {1} {2} \phi \right) \right] \\ \ & =& \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin \phi} {1 - \sin \phi} \right) \\ \ & =& \sinh^{-1} \left( \tan \phi \right) \\ \ & =& \tanh^{-1} \left( \sin \phi \right) \\ \ & =& \ln \left( \tan \phi + \sec \phi \right) \end{matrix}

Et voici la fonction inverse dite fonction de Gudermannian :

\begin{matrix} \phi &=& 2\tan^{-1} \left( e^y \right) - \frac{1} {2} \pi \\ \ &=& \tan^{-1} \left( \sinh y \right) \\ \lambda &=& x + \lambda_0 \end{matrix}

Calcul

Puisqu'on utilise une projection cylindrique, x ne dépend que de λ et y ne dépend que de φ. L'échelle Nord-Sud (en φ) doit être partout égale à l'échelle Est-Ouest (en λ), mais un radian de longitude ne fait pas la même taille aux pôles qu'à l'équateur. Le rapport des dérivées doit donc être égal au rapport de la longueur du parallèle par rapport à la longueur du méridien.

\forall \phi,\lambda\ : \frac{\frac{\partial x}{\partial \lambda}}{\frac{\partial y}{\partial \phi}} = \frac{ 2\pi R \cos(\phi)}{2 \pi R}

Et puisque l'on choisit \frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1
On trouve

\frac{\partial y}{\partial \phi} = \frac{1}{\cos(\phi)} = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} + \phi)} = \frac{1}{2\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})} = \frac{\frac{1}{2}\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})^2}}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})} = \frac{\frac{\partial(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})}{\partial \phi}}{\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2})}

puis en intégrant y = \ln \left( \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2}) \right)

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