Espace de Hilbert - Définition et Explications

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Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme \| \cdot\| découle d'un produit scalaire ou hermitien \langle \cdot,\cdot  \rangle par la formule \| x\| = \sqrt{\langle x,x  \rangle} . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de M. Fréchet - J. von Neumann - P. Jordan

Un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme....) (respectivement espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) normé) est un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...) (respectivement espace préhilbertien) ssi sa norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) vérifie l'égalité

\| x + y\|^2 + \| x - y\|^2 = 2 ( \| x\|^2 + \| y\|^2),

qui signifie que la somme des carrés de côtés d'un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...) est égale à la somme des carrés des diagonales.

Dans le cas réel le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) est défini par

\langle x,y  \rangle =\frac{1}{4}(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2).

Dans le cas complexe le produit hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...) est défini par

\langle x,y  \rangle = \langle x,y  \rangle_1+ i \langle x,iy  \rangle_1,

\langle x,y  \rangle_1=\frac{1}{4}(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2) et i est le nombre complexe (Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent...) 0 + 1i.

Dans un espace de Hilbert de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de...) qui permet, non plus de décrire un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent (Un confluent, ou point de confluence, est le lieu où se rejoignent deux (parfois plus) cours d'eau.) de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...) et de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par...). C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...) la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) de la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits...) variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...).

En mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...), l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

Exemples d'espaces de Hilbert

  • \mathbb{R}^n muni du produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) usuel.
  • L2([a,b]) muni de \langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) dx.
  • l2, espace des suites (u_n)_{n\in N} de nombres complexes telles que

\sum_{n=0}^\infty\vert u_n\vert^2<+\infty, le produit scalaire de deux suites u et v étant par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) la somme de la série \sum_{n=0}^\infty u_n\overline{v}_n

En fait, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) espace de Hilbert séparable est isomorphe à l2, voir l'article sur les bases de Hilbert

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