Espace de Hilbert
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Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme \| \cdot\| découle d'un produit scalaire ou hermitien \langle \cdot,\cdot  \rangle par la formule \| x\| = \sqrt{\langle x,x  \rangle} . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de M. Fréchet - J. von Neumann - P. Jordan

Un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel...) (respectivement espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au...) normé) est un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension...) (respectivement espace préhilbertien) ssi sa norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à...) vérifie l'égalité

\| x + y\|^2 + \| x - y\|^2 = 2 ( \| x\|^2 + \| y\|^2),

qui signifie que la somme des carrés de côtés d'un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) est égale à la somme des carrés des diagonales.

Dans le cas réel le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur...) est défini par

\langle x,y  \rangle =\frac{1}{4}(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2).

Dans le cas complexe le produit hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.) est défini par

\langle x,y  \rangle = \langle x,y  \rangle_1+ i \langle x,iy  \rangle_1,

\langle x,y  \rangle_1=\frac{1}{4}(\| x + y\|^2 -\| x - y\|^2) et i est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe 0 + 1i.

Dans un espace de Hilbert de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire, pour les...) qui permet, non plus de décrire un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut...) par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent (Un confluent, ou point de confluence, est le lieu où se rejoignent deux (parfois plus) cours d'eau.) de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les...) et de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).). C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la...) la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation...) de la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en...) variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la nature ;...).

En mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à...), l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

Exemples d'espaces de Hilbert

  • \mathbb{R}^n muni du produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un...) usuel.
  • L2([a,b]) muni de \langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) dx.
  • l2, espace des suites (u_n)_{n\in N} de nombres complexes telles que

\sum_{n=0}^\infty\vert u_n\vert^2<+\infty, le produit scalaire de deux suites u et v étant par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) la somme de la série \sum_{n=0}^\infty u_n\overline{v}_n

En fait, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace de Hilbert séparable est isomorphe à l2, voir l'article sur les bases de Hilbert

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