Base de Hilbert - Définition et Explications

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Introduction

David Hilbert en 1912

Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...), pour les espaces euclidiens (ou hermitiens dans le cas complexe) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) finie.

Comme dans le cas des bases habituelles, il s'agit de pouvoir décomposer n'importe quel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) de l'espace en somme de vecteurs colinéaires à ceux de la famille choisie. Cependant dans le cas d'une base de Hilbert (Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de...), on ne peut pas (généralement) écrire une égalité entre le vecteur décomposé et une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire finie des vecteurs de la base : on doit généralement se contenter d'une série dont les termes sont colinéaires aux vecteurs de la base, et convergeant vers le vecteur à décomposer (la notion de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) d'une série a ici un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) car un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit...) est en particulier un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) normé).

Remarque : en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des hypergraphes, une base de Hilbert est une chose très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...).

Définition

Soit H un espace préhilbertien (En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel...) sur un corps K égal aux nombres réels ou complexes et F une famille (ei) de vecteurs de Hi est élément d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) I.

Définition —  On dit que F est une base de Hilbert de H si et seulement si :

  • F est une famille orthonormale de H, c'est-à-dire :
 \forall (i,j)\in I^2\quad i\ne j \Rightarrow \langle e_i \mid e_j\rangle = 0
 \forall i\in I\quad \langle e_i \mid e_i\rangle = \Vert e_i \Vert^2 = 1

  • La famille est de plus complète au sens suivant :
 \forall x\in H,\ \exists (\lambda_i)_{i\in I}\quad\text{tel que}\quad \sum_{i\in I} \lambda_i\cdot e_i = x

La sommabilité de la famille (\lambda_i\cdot e_i )_{i \in I} ( de somme x ) est celle associée à la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) du produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) de H.

Dans le cas où H est de dimension finie, cette définition coïncide avec celle de base orthonormale. Dans le cas d'un espace de dimension infinie, le terme de base orthonormale indique très généralement une base de Hilbert.

Propriétés

Inégalité de Bessel et coefficients de Fourier

Une première majoration joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) un rôle important pour établir les propriétés d'une base de Hilbert. Elle porte le nom d'inégalité de Bessel.

Inégalité de Bessel —  Soient E un sous-espace vectoriel (En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...) fermé de H, (fi) avec i un élément de l'ensemble I une base de Hilbert de E et x un élément de H. Alors la série suivante est absolument convergente et majorée par le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) de la norme de x :

\sum_{i\in I} |\langle x,f_i\rangle |^2 \le \|x\|^2,

et l'ensemble de ses termes non nuls est au plus dénombrable. L'égalité n'a lieu que si x est élément de E .

Le cas d'égalité est toujours vérifié si E est égal à H, il prend le nom d'égalité de Parseval. C'est une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) du théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...), utilisée dans le cadre des séries de Fourier.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) de l'inégalité de Bessel contient la propriété suivante :

Proposition — Une famille orthonormale de H est une base de Hilbert si et seulement si elle est totale, c'est-à-dire si le sous-espace vectoriel qu'elle engendre est dense dans H.

Ainsi une base de Hilbert de H n'est pas une base au sens algébrique du terme, mais une base orthonormale d'un sous-espace D dont l'adhérence est égale à H.

L'égalité de Parseval permet de déterminer l'expression d'un élément x dans une base hilbertienne (ei) de H :

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) et définition —  Si (ei) est une base hilbertienne de H, l'égalité suivante est vérifiée :

x= \sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle \cdot e_i

Les coefficients \langle x,e_i\rangle sont appelés coefficients de Fourier de x, et constituent l'unique famille de coefficients permettant d'exprimer x dans la base de Hilbert.

Ainsi, à l'image de la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) pour une base au sens algébrique, il existe une et une unique manière d'exprimer un vecteur dans une base de Hilbert, mais en général comme une série et non plus une somme finie.

Toutes les démonstrations se trouvent dans l'article associé.

Existence

L'existence d'une base hilbertienne n'est pas garantie par les axiomes d'un espace préhilbertien. Il faut ajouter au moins une hypothèse pour la démontrer.

Théorème —  Si H est complet ou séparable, alors il existe une base hilbertienne.

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