Théorème de Borel-Lebesgue
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En Topologie de \mathbb{R}^n, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :

  • A est fermé et borné (A est borné s'il existe une constante positive majorant la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme générique...) des tous les éléments de A) ;
  • A vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) recouvrement (Un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union de ces sous-ensembles soit égal à X. Autrement dit P est un recouvrement de X si et seulement si tout élément x de X se trouve dans au moins l'un...) de A par des ouverts de \mathbb{R}^n on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Cette seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. ...) propriété est en fait la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) générale d'un compact en topologie : un espace est compact si et seulement si il est séparé et a cette propriété. Le théorème de Borel-Lebesgue (En Topologie de , le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :) peut donc se lire : un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément...) de \mathbb{R}^n est compact si et seulement il est fermé et borné.

À cause de ce théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de \mathbb{R}^n comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de \mathbb{R}^n est compact si et seulement il a la propriété de Borel-Lebesgue.

Le théorème peut se généraliser à tout espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) réel ou complexe de dimension finie, mais devient faux en dimension infinie.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées...)

  • Montrons qu'un compact de \mathbb{R}^n est fermé borné. Tout compact d'un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des...) séparé est fermé, et tout compact est borné dans un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.).
  • Montrons qu'un fermé borné est compact.

Pour cela montrons qu'un segment de \R est compact. Soit F un segment [a,b] et C un recouvrement ouvert de F. Considérons alors l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) E des points x de F tels que [a,x] admette un recouvrement fini extrait de C. E est non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) car il contient a. E est aussi majoré par b borne supérieure de F, il possède donc une borne supérieure c. E est ouvert dans F car tout point (Graphie) x de E admet comme voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la...) un intervalle ouvert contenant x contenu dans l'ouvert du recouvrement fini contenant x, et cet intervalle est naturellement contenu dans E. La borne supérieure c de E est incluse dans E car il existe un ouvert de C contenant c; or l'union de cet ouvert et du recouvrement fini forme un nouveau sous-recouvrement fini contenant la borne supérieure. Le seul ouvert fermé non vide de F est lui même, donc E est égal F. La propriété est démontrée pour les segments.

Un fermé borné de \mathbb{R}^n est toujours inclus dans un produit de segments ; il suffit alors de remarquer que les parties fermées des compacts sont compactes.

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