Chaînette
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Coube de la chaînette pour a=2
Coube de la chaînette pour a=2

En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage...) gravitationnelle uniforme (son propre poids). On lui donne parfois le nom de vélaire.

Étymologie et histoire

Le problème de la forme prise par un fil pesant flexible a intéressé très tôt les mathématiciens. Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien...) pensait que cette forme devait être un arc de parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les...), mais la preuve du contraire fut apportée en 1669 par Jungius. En 1691, Leibniz, Jean Bernoulli, et Huygens, sous l'impulsion d'un défi lancé par Jacques Bernoulli démontrent quasi-simultanément que la forme exacte est une chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre poids). On...). C'est d'ailleurs Huygens qui la baptise alors, dans une lettre adressée à Leibniz en 1690, d'un nom qui sous sa forme latine catenaria dérive de " chaîne ".

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...)

L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) cartésienne de la forme de la chaînette est :

y(x)=a \cdot \operatorname{ch}\left(\frac{x}{a}\right)

On peut également la voir sous la forme d'une équation paramétrique :

\left\{ \begin{matrix} x(t)=a \cdot \ln\left(t\right)  \\ y(t)=\frac{a}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)  \\ t>0 &   \end{matrix} \right.

Calcul mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un mouvement,...)

En mécanique, cette équation peut se calculer de deux manières.

Avec la loi de l'équilibre des forces : la somme des forces s'exerçant sur un maillon (Le maillon en language maritime est une longueur de chaîne (ligne de mouillage), qui mesure 15 brasses soit 27,50 m. L'élément de base de la chaîne est appelé maille. Les maillons sont reliés entre eux...) est nul puisque l'on est à l'équilibre. Le maillon est soumis à son poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à...), ainsi qu'à la traction de la part des maillons voisins. La direction de traction varie d'un maillon à l'autre.

On peut aussi appliquer le formalisme lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces dernières s'obtiennent par...). L'équation d'Euler-Lagrange qu'on obtient est celle de la corde vibrante

\frac{d^2 f}{dt^2} + \frac{d^2 f}{dx^2} = f

La solution stationnaire vérifie

\frac{df}{dt} = 0 et \frac{d^2 f}{dt^2} = 0

soit

\frac{d^2 f}{dx^2} = f

ce qui donne le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux...) hyperbolique.

Propriétés et applications

  • L'axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes...). Pour l'axe des abscisses, on parle de base.
  • La chaînette est un cas particulier d'alysoïde et de courbe de Ribaucour.
  • La chaînette est presque verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) près des points de suspension ( Le fait de suspendre des particules En chimie, la suspension désigne une dispersion de particule. En géomorphologie, la suspension est un mode de transport des sédiments. Le fait de suspendre un objet En...), car c'est là que le poids le plus important tire le plus la chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) vers le bas. En revanche, vers le bas de la courbe, l'inclinaison (En mécanique céleste, l'inclinaison est un élément orbital d'un corps en orbite autour d'un autre. Il décrit l'angle entre le plan de l'orbite et le plan de référence (généralement le plan de l'écliptique,...) diminue peu à peu puisque la chaîne supporte de moins en moins de poids. C'est d'ailleurs une des différences entre la chaînette et la parabole : pour une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de...) égale, la parabole est plus " pointue " dans sa partie inférieure.
  • La chaînette n'apparaît pas seulement dans la forme d'un fil suspendu. On la trouve aussi :
    • renversée, pour un arc tenant par son propre poids (voir à ce sujet les essais architecturaux de Gaudi).
    • verticale, dans le profil d’une voile rectangulaire attachée à 2 barres horizontales, enflée par un vent (Le vent est le mouvement d’une atmosphère, masse de gaz située à la surface d'une planète. Les vents les plus violents connus ont lieu sur Neptune et sur Saturne. Il est essentiel à tous...) soufflant perpendiculairement à ces barres, en négligeant le poids propre de la voile par rapport à la force du vent. C'est cette propriété qui justifie le nom de " vélaire " (voile) donné par Jacques Bernoulli.
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