Chaînette - Définition et Explications

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Introduction

Courbe de la chaînette pour a=2

En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) gravitationnelle uniforme (son propre poids). On lui donne parfois le nom de vélaire.

Étymologie et histoire

Le problème de la forme prise par un fil pesant flexible a intéressé très tôt les mathématiciens. Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence,...) pensait que cette forme devait être un arc de parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des...), mais la preuve du contraire fut apportée en 1669 par Jungius, après une première remise en cause par Huygens en 1646.

En 1691, Leibniz, Jean Bernoulli et Huygens, sous l’impulsion d’un défi lancé par Jacques Bernoulli, démontrent quasi simultanément que la forme exacte est une chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à...). C’est d’ailleurs Huygens qui la baptise ainsi, dans une lettre adressée à Leibniz. Délaissant le vocable latin du problema funicularium, (problème relatif à la corde), utilisé par les Bernoulli, il utilise le mot catenaria, courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) relative à la chaîne (Le mot chaîne peut avoir plusieurs significations :) (catena), puis passe au français chaînette, renouant ainsi avec le terme catenella utilisé par Galilée (alors que les mathématiciens anglophones conserveront la désignation de Huygens pour la nommer catenary, le même mot anglais étant traduit en français par caténaire (Une ligne aérienne de traction électrique est appelée:) avec la même origine latine, mot utilisé aussi en français pour certaines constructions autoportées en forme de chaînette).

Certains auteurs francophones lui donnent donc aussi le nom de caténaire bien que la caténaire désigne plutôt l’association d’un câble autoporté (en forme de chaînette) soutenant un second câble linaire dans sa partie inférieure, les deux câbles étant soumis à une force de traction longitudinale équilibrée par une série de pendules, le système de portage déformant la chaînette porteuse (Une porteuse est un signal sinusoïdal de fréquence et amplitude constantes. Elle est...) pour lui donner une forme plus proche en fait de la parabole, la chaînette n'étant présente virtuellement que dans l'axe central entre les deux câbles où sont articulés les pendules de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...).

Calcul mécanique

La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) de la chaînette décrit la courbe d'équilibre d'une ligne (chaîne ou câble) suspendue entre deux points, homogène, inextensible, sans rigidité en flexion, soumise à son seul poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...). Cette dernière condition assure que toute la courbe est située dans un plan vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en...), le système de coordonnées étant naturellement x horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la...), y vertical.

Élément de chaînette

Pour établir les conditions d'équilibre on raisonne comme en résistance des matériaux (La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière...) en coupant par la pensée la ligne en un point (Graphie) arbitraire et en faisant apparaître les forces de liaison. En l'absence de rigidité en flexion il n'y a ni effort tranchant ni moment fléchissant mais un seul effort axial T nommé tension (La tension est une force d'extension.), α étant l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) de celle-ci avec l'horizontale. Ainsi la composante horizontale s'écrit Tcosα et la composante verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le...) Tsinα.

L'absence de rigidité en flexion crée par contre des grandes déformations qui conduisent à étudier l'équilibre d'un petit élément de longueur ds . Il subit une force horizontale nulle et une force verticale égale à son poids wds (où w est le poids par unité de longueur), ce qui conduit aux équations différentielles

\mathrm d(T \cos \alpha) = 0 \qquad \mathrm d(T \sin \alpha) = w \mathrm ds\,

L'intégration de la première équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) donne T \cos \alpha = H\,, la constante d'intégration étant la composante horizontale qui se transmet sans modification d'un bout à l'autre de la ligne.

La seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) donne T \sin \alpha =  w(s-s_0)\,. Ici, la constante d'intégration, dont la valeur dépend de l'origine des abscisses curvilignes, correspond au point le plus bas de la courbe où la force verticale change de signe.

En élevant au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) et en sommant on obtient la loi de variation de la tension en fonction de l'abscisse curviligne :

T^2 = H^2 + w^2 (s-s_0)^2\,

En divisant les deux équations de base on obtient la pente de la courbe :

p = \tan \alpha = \frac {w} {H} (s-s_0)\,

La dérivation par rapport à x conduit à

\frac {\mathrm dp} {\mathrm dx}  = \frac {w} {H} \frac {\mathrm ds} {\mathrm dx} = \frac {w} {H} \sqrt{1+p^2}\,

L'intégration donne \operatorname {Argsh} p = \frac {w} {H} (x-x_0) . En inversant il vient :

p =  \operatorname {sh} \frac {w} {H} (x-x_0)\,

Une nouvelle intégration donne l'équation de la chaînette :

y - y_0 =  \frac {H} {w}  \operatorname {ch} \frac {w} {H} (x-x_0)\,

De la pente on déduit également l'abscisse curviligne :

s - s_0 =  \frac {H} {w} \operatorname {sh} \frac {w} {H} (x-x_0)\,

ainsi que la composante verticale de la tension :

V = H  \operatorname {sh} \frac {w} {H} (x-x_0)\,

D'où la tension elle-même :

T = H  \operatorname {ch} \frac {w} {H} (x-x_0)\,
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