Lagrangien - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Le lagrangien  \mathcal{L}[\varphi_i] d'un système dynamique est une fonction des variables dynamiques qui permet d'écrire de manière concise les équations du mouvement du système. Son nom vient de Joseph Louis Lagrange, qui a établi les principes du procédé.

Les équations du mouvement s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

 \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

avec l'action  \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns},

et {}{}{}{}\ s_\alpha l'ensemble des paramètres du système.

Les équations du mouvement obtenues sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un principe de moindre action et d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale, et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.

Un exemple en mécanique classique

Le concept de lagrangien fut historiquement introduit dans une reformulation de la mécanique classique, la mécanique lagrangienne. Dans ce contexte, le lagrangien vaut généralement l'énergie cinétique à laquelle on soustrait l'énergie potentielle :

\mathcal{L} = T - V

En coordonnées cartésiennes

Le lagrangien d'une particule de masse m non relativiste dans un espace euclidien à trois dimensions s'écrit :

L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})

ou bien

L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{\vec{P}^2}{2m} \ \ - \ V(\vec{x})

avec P la quantité de mouvement

\vec{P} \ = \ m \ \vec{v} \ = \ m \ \dot{\vec{x}}

on note la dérivation temporelle par un point au-dessus de la quantité différentiée.

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent :

\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0

L'indice i = 1, 2, 3. Le calcul des dérivées donne :

 \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}

P=m.v

 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \,  \dot{x}_i \, \dot{x}_i \, \right) \ = \ m \, \dot{x}_i
\frac{d~}{dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent donc explicitement :

 m \, \ddot{x}_i \ + \ \frac{\partial V}{\partial x_i} \ = \ 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  m \, \ddot{x}_i \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}

soit sous forme vectorielle :

 m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ - \ \vec{\nabla} V

Les approches lagrangienne et newtonienne sont donc équivalentes lorsque la force dérive d'un potentiel :

\vec{F} \ = \ - \ \vec{\nabla} V(x)

puisque la formulation de la deuxième loi de Newton dans un référentiel Galiléen s'écrit :

m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ \vec{F}

En coordonnées sphériques

Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques (r,\theta,\varphi), et le lagrangien :

L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r, \theta, \varphi).

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) + V_r' =0,
(mr^2\ddot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2 + V_{\theta}'=0,
mr^2\sin^2\theta\ddot{\varphi} + V_{\varphi}' =0.

Ici l'ensemble des paramètres  \ s_i se réduit au temps \ t, et les variables dynamiques  \ \phi_i(s) sont les trajectoires  \vec x(t) des particules.

Lagrangien électromagnétique

En général, en mécanique lagrangienne, le lagrangien vaut:

L = TV

T est l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle.

Etant donnée une particule chargée électriquement de masse m et charge q, et de vitesse \vec{v} dans un champ électromagnétique de potentiel scalaire φ et de potentiel vecteur \vec{A}, l'énergie cinétique de la particule est :

 T = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}

et son énergie potentielle est:

 V = q\phi - q \vec{v} \cdot \vec{A}

Le lagrangien électromagnétique est alors:

 L = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}  - q\phi + q \vec{v} \cdot \vec{A} .
Page générée en 2.093 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
A propos - Informations légales | Partenaire: HD-Numérique
Version anglaise | Version allemande | Version espagnole | Version portugaise