Courbe tautochrone
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Une courbe tautochrone est la courbe où le temps pris par une particule glissant sous l'influence uniforme de la gravité jusqu'à son point le plus bas est indépendant de son point de départ.

Le problème tautochrone, l'essai d'identifier cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.), fut résolu par Huygens en 1659 dans le cas où seule la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) agit. Il prouva géométriquement dans son Horologium oscillatorium (Le Pendulum Clock, 1673) que la courbe était une cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une...). Cette solution fut utilisée ultérieurement pour attaquer le problème de la courbe brachistochrone (Le mot brachistochrone désigne une courbe plane sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal...).

Plus tard, des mathématiciens tels que Lagrange, d'Alembert et Euler cherchèrent une solution analytique au problème dans le cas général.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...) que la cycloïde est une courbe tautochrone (Une courbe tautochrone est la courbe où le temps pris par une particule glissant sous l'influence uniforme de la gravité jusqu'à son point le plus...)

L’équation différentielle décrivant la cycloïde générée par un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) de rayon R, est:

\begin{pmatrix}\frac{dy}{dx}\end{pmatrix}^2=\frac{2R-y}{y}

Pour l’exercice qui nous intéresse on utilise une cycloïde inversée (tête en bas) dont l’équation différentielle prend la forme:

\begin{pmatrix}\frac{dy}{dx}\end{pmatrix}^2=\frac{y}{2R-y}

On place une particule sur la courbe à la position de coordonnées (xo,yo) et on laisse la gravité agir (constante gravitationnelle g). La vitesse (On distingue :) en un point (Graphie) quelconque (x, y) de la courbe est:

v=\sqrt{2g(y_o-y)}

Le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) pris par la particule pour effectuer le trajet infinitésimal jusqu’au point de la courbe (x+dx, y+dy) est:

dt=\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{2g(y_o-y)}}=\sqrt{\frac{R}{gy(y_o-y)}}dy

Le temps t que prendra la particule pour arriver au bas de la cycloïde est:

t=\int_0^{y_o}{\sqrt{\frac{R}{gy(y_o-y)}}dy}

En effectuant le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...) \tau=\frac{y_o-y}{y_o} on trouve:

t=\sqrt{\frac{R}{g}}\int_0^1{\frac{d\tau}{\sqrt{\tau(1-\tau)}}}=\pi\sqrt{\frac{R}{g}}

D’où il ressort que le temps de trajet est indépendant du point de départ sur la cycloïde.

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