Lemniscate de Bernoulli
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La lemniscate de Bernoulli.
La lemniscate de Bernoulli.

La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.

Une lemniscate de Bernoulli, de foyers F et F’, est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des points M vérifiant la relation :

MF \times MF' = OF^2.

Cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments,...) fait partie de la famille des lemniscates, dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), elle est l'exemple le plus remarquable d'ovale de Cassini (En mathématiques, un ovale de Cassini est un ensemble de points du plan tel que le produit des distances de chaque point p de l'ovale à deux autres points fixés q1 et q2 est constant,...). Elle représente aussi la section d'un tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) particulier par un plan tangent intérieurement.

Expressions dans différents systèmes de coordonnées

On pose OF = a. En coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.), la lemniscate de Bernoulli (La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.) admet pour équation :

\rho^2 = a^2 \times \cos{2\theta}

En coordonnées cartésiennes, on peut la décrire par l'une des deux équations.

Soit en fonction de x et y :
\left(x^2 + y^2\right)^2 = 2a^2 \times \left(x^2 - y^2\right)
Soit en fonction de x :
y = \pm\sqrt{\frac{-(2x^2 + 2a) + \sqrt{16ax^2 + 4a^2}}{2}}

Le symbole de l'infini ?

La lemniscate (Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d'un 8. Elle possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Ceux-ci se coupent en un point double de la courbe, également son centre de symétrie.) de Bernoulli est souvent considérée comme une courbe qui se parcourt sans fin. Cette caractéristique de la lemniscate serait à l'origine du symbole de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) \infty, mais une autre version vient contredire cette hypothèse, l'invention du symbole \infty étant attribuée au mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de...) John Wallis, contemporain de Bernoulli.

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