Courbe de Lissajous
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La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) mathématique

Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope
Courbe de Lissajous (La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.) obtenue sur un oscilloscope

Une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) de Lissajous peut être définie par l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...) paramétrique suivante :

x( \theta )=a\sin(\theta)\,
y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi)\,
0\le \phi \le \frac {\pi}{2} et n\ge 1\,

n\, est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme n=\frac{p}{q}\, et l'équation paramétrique de la courbe devient :

x( \theta )=a\sin(p\theta)\,
y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi)\,
0\le \theta \le 2\pi
0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}

Propriétés

  • Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) [-a,a]x[-b,b].
  • Si n est rationnel,
    • la courbe est une courbe algébrique (Une courbe algébrique est une courbe, le plus souvent plane, dont l’équation cartésienne peut se mettre sous forme polynômiale. Une courbe non algébrique est dite transcendante.) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) 2q si \phi \in \left]0,\frac{\pi}{2p} \right] pour p impair ou \phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right[ pour p pair.
    • la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si \phi=0\, pour p impair ou \phi=\frac{\pi}{2p} pour p pair.
  • Si n est un entier pair et \phi = \frac{\pi}{2}, ou si n est un entier impair et \phi =0\,, la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne...) de Tchebychev Tn.

Cas particuliers

  • si a=b et n=1, la courbe est une ellipse.
    • si \phi=\frac{\pi}{2}, cette ellipse est un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de...)
    • si \phi=0\,, cette ellipse est un segment de droite
  • si a=b et n=q=2 (donc p=1), la courbe est une besace
    • si \phi=\frac{\pi}{2}, cette besace est une portion de parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens...)
    • si \phi=0\,, cette besace est une lemniscate (Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d'un 8. Elle possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Ceux-ci se coupent en un point...) de Gerono

Voici quelques exemples de tracés avec φ = 0, p impair, q pair, |pq| = 1.

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