Parallélisme (géométrie)
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En géométrie affine, le parallélisme est une propriété relative aux droites, aux plans ou plus généralement aux sous-espaces affines. La notion de parallélisme a été initialement formulée par Euclide dans ses éléments, mais sa présentation a évolué dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), passant d'une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) axiomatique à une simple définition.

En géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions...)

Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un...)

La notion de parallélisme existe déjà dans les éléments d'Euclide. Il est important de souligner que, pour Euclide, une droite s'apparente plutôt à un ségment.

  • Définition 35 : Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre
  • Proposition 27 : Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles
  • Proposition 31 : Par un point donné, il passe au moins une parallèle à une droite donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...)

Le postulat 5 Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits permet de prouver

  • l'unicité de la parallèle à une droite donnée passant par un point donné.
  • le proposition 29 : Si deux droites sont parallèles, toute droite coupant l'une et l'autre, forme avec celle-ci des angles alternes égaux.
  • Propostition 30 : Deux droites distinctes parallèles à une même droite sont parallèles entre elles
  • Proposition 32 : la somme des angles d'un triangle est égale à 180°
  • Proposition 33: Deux droites qui joignent des mêmes côtés de droites parallèles et de même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) sont parallèles et de même longueur (la figure tracée dans la proposition 33 est un parallélogramme))
  • Proposition 34 : Les côtés opposés et les angles opposés dans un parallélogramme sont égaux, et la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés...) coupe le parallélogramme en deux triangles égaux.

Relation d'équivalence

En résumé, en acceptant de considérer des droites confondues comme parallèles, on peut voir que la relation de parallélisme est alors

  • réflexive : une droite est parallèle à elle-même
  • symétrique : Si une droite (d) est parallèle à une droite (d') alors la droite (d') est parallèle à la droite (d)
  • transitive : : Si une droite (d) est parallèle à (d') et si (d') est parallèle à (d") alors (d) est parallèle à (d")

Ce qui permet de dire que la relation de parallélisme est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence sont les directions des droites.

En géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de...)

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes...)

Une droite est définie par un point et un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet...) directeur. Deux droites sont dites parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il apparait alors que deux droites confondues sont parallèles selon cette définition alors qu'elles ne l'étaient pas selon la définition d'Euclide. Deux droites distinctes parallèles sont alors appelées strictement parallèles.

Dans un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) 3

Dans un espace affine, deux plans sont définis par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires.

Deux plans sont parallèles si et seulement si les quatre vecteurs directeurs sont coplanaires. Dans un espace de dimension trois, deux plans sont ou bien parallèles (sans points commun ou confondus) ou bien sécants suivant une droite.

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si les trois vecteurs directeurs (les deux du plan et celui de la droite) sont coplanaires. Dans un espace de dimension 3, étant donnés une droite et un plan, ou bien la droite est parallèle au plan, ou bien la droite et le plan sont sécants suivant un point.

Dans un espace affine de dimension n

Un espace affine de dimension p est défini à l'aide d'un point et d'un sous-espace vectoriel de dimension p appelé direction de l'espace affine. Deux sous-espace affine de dimension p sont parallèles si et seulement si ils ont le même sous-espace vectoriel comme direction. Deux sous-espace affines parallèles sont disjoints ou confondus.

La relation de parallélisme reste une relation d'équivalence sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des sous-espaces affines de dimension p

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