Axiome de l'ensemble des parties
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En mathématiques, l'axiome de l'ensemble des parties est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel.

L'axiome affirme l'existence pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) E, d'un ensemble auquel appartiennent tous les sous-ensembles de E, et seulement ceux-ci. Un tel ensemble est nommé ensemble des parties de E, d'où le nom de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi »)...).

Cet axiome s'écrit dans le langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux n'allant pas nécessairement de pair) que le langage de tous les jours (voir langage naturel).) de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.), qui est un langage égalitaire du premier ordre avec la relation d'appartenance comme seul symbole primitif non logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première...). On peut tout d'abord définir formellement l'inclusion :

AB    signifie    ∀ x (xAxB) .

L'axiome s'écrit alors :

EPA (APAE).

qui se lit en français :

Pour tout ensemble E, il existe un ensemble P tel que tout ensemble A est un élément de P si et seulement s’il est une partie de E.

Il n'est pas nécessaire d'énoncer dans l'axiome l'unicité de cet ensemble P pour un E donné. Celle-ci est assurée par l'axiome d'extensionnalité. On peut donc parler de l'ensemble des parties de E, et on note celui-ci habituellement " \mathcal{P}(E) " ou " \mathfrak{P}(E) ".

En itérant l'ensemble des parties sur l'ensemble des entiers naturels (voir axiome de l'infini) on arrive vite à des ensembles dont l'utilité en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) n'est pas évidente. Il existe donc des théories faibles des ensembles, comme la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des ensembles de Kripke-Platek, qui ne comprennent pas cet axiome. En contre-partie il peut être utile d'ajouter les entiers comme éléments primitifs (ur-elements). L'entier de Von-Neumann n " vit  " en effet dans l'ensemble des parties itéré n fois à partir de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.).

Pour prendre un exemple très simple, la logique du second ordre, que l'on peut voir comme une théorie des ensembles très faible, n'a pas d'équivalent de l'axiome de l'ensemble des parties. Mais si on a les entiers (donnés par exemple par 0 et un symbole pour le successeur) dans le langage, on peut développer l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des...) du second ordre, et donc, avec quelques axiomes, une théorie suffisante pour l'analyse réelle usuelle (on a les entiers et les ensembles d'entiers, mais pas les ensembles d'ensemble d'entiers).

En théorie des types (La théorie des types est une branche de la logique mathématique : elle fonde la construction des objets sur la notion de fonction et non pas sur celle d'ensemble.), les sous-ensembles d'un ensemble E sont d'un type différent, plus complexe, que les élements de E.

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