Axiome de l'ensemble vide
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L'axiome de l'ensemble vide est, en mathématiques l'un des axiomes possibles de la théorie axiomatique des ensembles. Comme son nom l'indique, il permet de poser l'existence d'un ensemble vide. Dans les présentations modernes, il n'est plus mentionné parmi les axiomes des théories des ensembles de Zermelo, ou Zermelo-Fraenkel, car il est conséquence en logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche l'étude...) du premier ordre du schéma d'axiomes de compréhension.

Exposition

Dans le langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les...) des axiomes de Zermelo-Frankel, l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne...) s'écrit :

\exists A\ \forall B ( B\not\in A )

ou en d'autres termes :

Il existe un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) A tel que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble B, B n'est pas un élément de A, c’est-à-dire qu'il existe un ensemble dont aucun ensemble n'est élément.

L'axiome d'extensionnalité peut être utilisé pour démontrer que cet ensemble est unique. Il est appelé l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) et il est noté \empty ou {}.

Essentiellement, l'axiome affirme donc que l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) existe.

Ensemble vide et schéma de compréhension

L'existence de l'ensemble vide peut être démontrée par compréhension, et donc n'a pas à faire partie des axiomes de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, quand celles-ci sont vues comme des théories du premier ordre. En effet, en logique du premier ordre, les domaines d'interprétation des variables d'objets de base, ici des variables d'ensemble, sont non vides. Cela compliquerait beaucoup l'exposé des règles logiques de considérer des domaines vides. C'est ce qui permet l'introduction de nouvelles variables dans le raisonnement : dès que l'on introduit une nouvelle variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un...), on suppose qu'elle désigne un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...).

Il suffit donc, dans le cas qui nous préoccupe, d'appliquer le schéma d'axiomes de compréhension à un ensemble arbitraire, pour une propriété jamais réalisée : soit y un ensemble, a={xy| x ≠ x} est bien l'ensemble vide, c’est-à-dire que \forall x ( x\not\in a ).

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