Conjecture d'Artin sur les fonctions L
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

En mathématiques, et en particulier en théorie des nombres, la conjecture d’Artin sur les fonctions L concerne les régions du plan complexe dans lesquelles une fonction L d’Artin est analytique.

Soit G un groupe de Galois d’une extension galoisienne finie L/K de corps de nombres ; et soit ρ un groupe de représentation de G sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept...) complexe de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) finie. Alors la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) d’Artin affirme que la fonction L d’Artin

L(ρ,s)

est méromorphe dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.), et admet au plus un pôle en s = 1. De plus la multiplicité du pôle serait égale à la multiplicité de la représentation triviale dans ρ.

Ce résultat est acquis pour les représentations de dimension 1 ; les fonctions L étant alors associées aux caractères de Hecke ; et en particulier pour les fonctions L de Dirichlet. D’autres cas dépendent de la structure de G, quand il n’est pas un groupe abélien. Voir par exemple le travail de Tunnell.

Ce qui est connu en général vient du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Brauer sur les caractères induits, qui a en fait été motivé par cette application. Il nous indique grosso modo, que le Q-module dans le groupe multiplicatif des fonctions méromorphes non nulles dans le demi-plan Re(s) > 1 engendré par les fonctions L de Hecke contient toutes les fonctions L de Artin. Ici la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par 1/k signifie l'extraction d'une racine de k-ième d’une fonction analytique ; ce qui n'est pas un problème loin des zéros de la fonction, d’autant plus que par hypothèse la fonction ne peut s’annuler dans ce demi-plan. S'il existe des zéros, malgré tout, nous pourrions avoir besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les besoins secondaires et les...) de réaliser des plans de coupe en des points de branchement

Ainsi la conjecture d’Artin concerne les zéros des fonctions L, tout comme la famille des conjectures liées à l’hypothèse de Riemann. Certains pensent que celle-ci viendrait du résultat assez fort de la philosophie de Langlands, concernant les fonctions L associées à des représentations automorphes de GL(n) pour tout n ≥ 1. En fait il s’agit d’un théorème de bouche (La bouche (encore dénommée cavité buccale ou cavité orale) est l'ouverture par laquelle la nourriture d'un animal entre dans son corps. Le mot gueule s'utilise aussi, mais avec un sens familier voire grossier...) à oreille (L'oreille est l'organe qui sert à capter le son et est donc le siège du sens de l'ouïe, mais elle joue également un rôle...) que les anglo-saxons qualifient de " théorème folklorique " ; il représente certainement l’une des motivations principales de la généralité actuelle dans le travail de Langlands.

Page générée en 0.037 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique