Constante de Brun
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En mathématiques, la constante de Brun des nombres premiers jumeaux (ou plus simplement constante de Brun) est la somme de la série des inverses des nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire des couples de nombres premiers distants de 2.

Cette constante tire son nom du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une...) Viggo Brun qui démontra en 1919 que cette série est convergente[1].

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soit (p_n, q_n)_{n\in\mathbb{N}} la suite des couples de nombres premiers jumeaux. Les premiers termes de cette suite sont (3,5), (5,7), (11,13), etc.

Soit (S_n)_{n\in\mathbb{N}} la suite des sommes partielles des inverses des n premiers termes de la suite précédente : S_n=\sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{p_k} + \frac{1}{q_k} \right). La série correspondante converge vers la constante de Brun (En mathématiques, la constante de Brun des nombres premiers jumeaux (ou plus simplement constante de Brun) est la somme de la série des inverses des nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire des couples de...), notée B2 :

B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots.

À la différence de la série des inverses de tous les nombres premiers qui, elle, diverge, cette série est convergente. Une divergence de la série aurait permis de prouver la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) des nombres premiers jumeaux ; dans la mesure où elle est convergente, cette conjecture n'est toujours pas prouvée.

Estimation

Une première estimation de la constante de Brun a été effectuée par Shanks et Wrench en 1974 à l'aide des premiers jumeaux jusqu'à 2 millions[2]. R.P. Brent calcula en 1976 tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 1011 et améliora le résultat[3].

Une meilleure estimation de la constante de Brun a été réalisée par Thomas Nicely en 1994 par une méthode heuristique (L'heuristique (du grec heuriskêin, « trouver ») est l'utilisation de règles empiriques :) en calculant les nombres premiers jumeaux jusqu'à 1014[4] (pour l'anecdote, T. Nicely a mis en évidence à cette occasion le bogue de la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la...) du Pentium). Il a par la suite amélioré cette approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) en utilisant les jumeaux jusqu'à 1,6×1015 (lien) et a mis à jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par rapport à...) cette approximation au fil des années. En septembre 2006, il donnait l'estimation suivante (lien) :

B2 = 1,90216 05825 38 ± 0.00000 00014 00.

La meilleure estimation de l'écriture décimale de la constante de Brun a été réalisée en 2002 par Pascal Sebah et Patrick Demichel en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 1016[5] :

B2 ≈ 1,90216 05831 04.

La suite des chiffres de la constante de Brun en écriture décimale est référencée dans l'OEIS comme la séquence la séquence A065421 de l'OEIS.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les...)

Il existe aussi une constante de Brun pour les quadruplets de nombres premiers. Un quadruplet de premiers est un couple constitué de jumeaux premiers, séparés d'une distance de 4 (la plus courte distance possible) soit (p,p + 2,p + 6,p + 8). Les premiers quadruplets de premiers sont (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun pour les quadruplets de premiers, notée B4, est la somme des inverses de tous les nombres premiers des quadruplets:

B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots

avec la valeur:

B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.
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