Théorème de Löwenheim-Skolem
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Le théorème de Löwenheim-Skolem fait partie de la théorie des modèles. Sa simplicité et sa puissance en font un théorème majeur — avec le théorème de compacité.

Théorème

Soit T une théorie du premier ordre.

Énoncé
Si T admet un modèle infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite...), ou des modèles finis arbitrairement grands, elle admet un modèle de n'importe quel cardinal plus grand que celui de T.
En particulier, quand T est finiment axiomatisable, et admet un modèle infini, elle admet un modèle dénombrable.
Preuve
Avec des modèles finis arbitrairement grands, on peut ajouter, à la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...), des constantes ci deux à deux distinctes. Toute partie finie de la théorie admet un modèle ; par compacité, on obtient un modèle infini.

Variante

Si le modèle est infini, le théorème de Löwenheim-Skolem (Le théorème de Löwenheim-Skolem fait partie de la théorie des modèles. Sa simplicité et sa puissance en font un théorème majeur — avec le...) permet d'augmenter son cardinal à n'importe quel cardinal supérieur.

Corollaires

  • Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) de Löwenheim-Skolem permet par exemple de montrer que la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première...) du premier ordre est strictement inférieure à celle du second ordre.
  • Si on applique le théorème à la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des ensembles la plus...), ou à une autre théorie axiomatique destinée à fonder les théorèmes de Cantor, on obtient un univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) dénombrable de tous les ensembles définis dans ZFC. Mais on peut prouver dans ZFC qu'il existe des ensembles indénombrables. Autrement dit ZFC affirme qu'il existe plus d'ensembles qu'elle n'en peut définir : c'est le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une...) de Skolem.
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