Continuité (mathématiques élémentaires)
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un ensemble...)

La continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations...) est une propriété très intuitive des fonctions numériques : on peut dire sans trop se tromper qu'une fonction est continue lorsqu'on peut tracer son graphique " sans lever le crayon ", donc sans faire de " sauts ". On formalise cette notion à l'aide de l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se...) des limites.

Fonction continue en un point (Graphie)


On dit qu'une fonction y = f(x) est continue en une valeur a si et seulement si:
1) f(x) est définie

2) \lim_{ x\to a} f(x) existe

3) \lim_{ x\to a} f(x) = f(a).
Il est evident que si la condition 3) est satisfaite,les deux premières conditions le sont aussi.

Si cela est vrai uniquement à droite (pour x > a), on dit que f est continue à droite en a. De même à gauche pour x < a.
Dire que f est continue en a revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en a.

Continuité sur un intervalle


On dit que f est continue sur [a;b] si :
- f est continue sur ]a;b[
- la limite à droite de f lorsque x \to a vaut f(a) et la limite à gauche de f lorsque x \to b vaut f(b).

Dérivabilité et continuité


Toute fonction dérivable en un point ou sur un intervalle est également continue sur cet intervalle.
La réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse

Corollaire : fonctions usuelles (Les fonctions usuelles sont à la fois les plus simples et les plus importantes des fonctions utilisées en mathématiques. La plupart sont généralement plus ou...)
Les fonctions polynômes, rationnelles (quotients de polynômes) et trigonométriques sont dérivables sur leurs intervalles de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), et sont donc également continues sur ceux-ci.
De plus, on a continuité de la fonction racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette...) sur [0;+\infty[ et de la fonction valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) sur \R.

Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) des fonctions continues et composée de fonctions continues



Par définition, f est continue en a si et seulement si \lim_{x \to a}f(x) = f(a).
Il résulte donc des théorèmes sur les limites les résultats suivants :

Algèbre des fonctions continues
Soient f et g deux fonctions continues sur un même intervalle I. Alors :
- \forall (\alpha ; \beta) \in \R^2 \alpha f + \beta g (combinaison linéaire)
- fg (produit)
- g \ne 0 \frac{f}{g} (quotient)
sont continues sur I.

Composée de fonctions continues
Si f est continue sur I et g est continue sur f(I) alors g \circ f est continue sur I.


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