Théorème de Radon
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Les projections des rayons-X sont clairement visibles dans cette coupe prise par un scanner
Les projections des rayons-X sont clairement visibles dans cette coupe prise par un scanner

Le théorème de Radon établit la possibilité de reconstituer en volume un objet au moyen de la totalité de ses projections. Ce théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) offrait la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) permettant de réaliser des appareils de tomodensitographie alias scanners médicaux. Il doit son nom au mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) Johann Radon (Le radon est un élément chimique du tableau périodique de symbole Rn et de numéro atomique 86. C'est un gaz rare, radioactif, d'origine...)

En toute rigueur, il est bien entendu impossible de disposer de toutes les projections d'un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) solide, mais compte-tenu des corrélations connues (voir morphologie mathématique), on sait majorer l'erreur obtenue en ne prenant par exemple qu'une projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) par degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) angulaire. Les méthodes d'entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite au milieu du XIXe siècle par Rudolf Clausius dans le cadre du second principe, d'après les travaux de Carnot[1]. Clausius a montré que le rapport Q/T (où Q est la...) maximale (voir théorème de Cox-Jaynes) permettent de suppléer à l'information manquante en restant en dessous du seuil de bruit (Dans son sens courant, le mot de bruit se rapproche de la signification principale du mot son. C'est-à-dire vibration de l'air pouvant donner lieu à...) acceptable.

Transformée de Radon

La transformée de Radon est la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant...) mathématique d'une projection. La transformée de Radon d'une fonction bidimensionnelle f est donné par l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à...) selon une direction \varphi:

p_{\varphi }(x')=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x\cos(\varphi )+y\sin(\varphi )-x')dxdy

δ(x) est l'impulsion de Dirac.

Dans le cas où x' et \varphi sont discrets, la transformée de Radon est équivalente à la transformée de Hough pour une droite.

Transformée inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) de Radon

La reconstruction de la fonction f en coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des...) peut alors être réalisée à l'aide de la transformée inverse de Radon:

\hat{f}(r,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}^{-1}[|\omega |]*p_{\varphi}(x')d\varphi

\mathcal{F} est la transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. On cherche ensuite à obtenir...). La transformée inverse de Radon consiste à filtrer toutes les projections et à les propager sur toute l'image dans la même direction où ils avaient été projetés. D'où le nom "reconstruction par rétroprojection filtrée" parfois aussi utilisé.

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