Théorème de Borel-Cantelli - Définition

Dans la théorie des probabilités, le Théorème de Borel-Cantelli, aussi appelé lemme de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la mesure.

Soit (E_n) une suite d'événements dans un espace probabilisé donné. Le Théorème affirme que :

Si la somme des probabilités de E_n est finie, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se réalisent est nulle.

Notez que l'indépendance des événements n'est pas nécessaire.

Par exemple, supposons (X_n), une suite de variables aléatoires, avec P(X_n = 0) = 1/n² pour tout n. La somme des P(X_n = 0) est finie^[1], donc d'après le Théorème de Borel-Cantelli la probabilité que X_n = 0 se produise pour une infinité de n est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, X_n est non nul pour un nombre infini de n.

Pour des mesures spatiales générales, le Théorème de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Soit μ une mesure d'un jeu X, avec un σ F, et (A_n) une suite dans F. Si

alors μ(lim sup A_n) = 0.

Pour voir que c'est une généralisation de la version citée plus haut, il suffit de vérifier que lim sup A_n est est constituée des éléments de X qui sont dans A_n pour une infinité de valeurs de n.

Un résultat corollaire, parfois appelé le second lemme de Borel-Cantelli :

Si les événements E_n sont indépendants et que la somme des probabilités de E_n tend vers l'infini, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se produisent est 1.

Notes