Théorie axiomatique des ensembles
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Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de " la " théorie axiomatique des ensembles, on désigne habituellement sous ce nom la théorie ZFC. Au XXIe siècle, c'est la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) sur laquelle la majorité des mathématiciens s'appuient, mais il existe d'autres théories concurrentes.

Certaines sont simplement des variantes, d'autres reposent sur des approches différentes. Citons à titre d'exemple la théorie des types (La théorie des types est une branche de la logique mathématique : elle fonde la construction des objets sur la notion de fonction et non pas sur celle d'ensemble.) (abandonnée à cause de sa lourdeur), la théorie NBG (de von Neumann, Bernays et Gödel) qui introduit la notion de classe, ou les théories de Quine…

Les origines d'une théorie rigoureuse des ensembles

Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.), sous une forme que l'on qualifie aujourd'hui de théorie naïve des ensembles. Mais, à côté de considérations élémentaires, sa théorie comportait des niveaux d'abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la pensée une ou plusieurs qualités d'un objet concret pour en former une représentation intellectuelle, et le...) élevés. La vraie nouveauté de la théorie de Cantor, c'est qu'elle permet de parler de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). Par exemple, une idée importante de Cantor a été de définir l'équipotence (En théorie des ensembles, deux ensembles E et F sont dits équipotents, ce qu'on note E ≈ F, s'il existe une bijection de E sur F. On dira alors que deux ensembles équipotents ont la même cardinalité, c'est-à-dire la même...). Deux ensembles A et B sont équipotents, ou ont même cardinalité (même nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'éléments quand ils sont finis), s'il existe un moyen d'associer à chaque élément de A un et un seul élément de B et inversement. On peut ainsi démontrer que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) \mathbb{N} des entiers naturels a la même cardinalité que l'ensemble \mathbb{Q} des nombres rationnels, bien que \mathbb{N} soit un sous-ensemble propre (En mathématiques, en théorie des ensembles, on appelle sous-ensemble propre d'un ensemble E tout sous-ensemble de E distinct de E.) de \mathbb{Q}. Ces deux ensembles sont dits infinis dénombrables. D'un autre côté, l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels n'a pas la même cardinalité que \mathbb{N} ou \mathbb{Q}, mais une cardinalité supérieure : il est dit indénombrable ou non dénombrable. Cantor a donné deux preuves que \mathbb{R} n'est pas dénombrable, et la deuxième, qui utilise un argument connu sous le nom d'argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n...) de Cantor, a été extraordinairement influente et a eu de nombreuses et diverses applications en logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison,...) et en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et...).

Cantor a approfondi la théorie et a construit des hiérarchies infinies d'ensembles infinis, les nombres ordinaux et les nombres cardinaux. Ces constructions étaient controversées à son époque, l'opposition étant conduite par le finitiste Léopold Kronecker ; mais aujourd'hui elles sont acceptées par la majorité des mathématiciens.

Le développement de la théorie des ensembles par Cantor était encore " naïf " dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) qu'il n'employait pas encore une axiomatique précise, et parce que pour lui il n'y avait qu'une seule théorie des ensembles, un seul univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) ensembliste attendu, alors que les théoriciens des ensembles d'aujourd'hui jonglent avec des univers différents.

Après coup, on a pu simplifier, assez injustement pour Cantor, en résumant sa théorie à un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) tacite de l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) d'extensionnalité, et d'une version trop forte du schéma d'axiomes de compréhension, qui en substance permettrait d'associer à toute propriété l'ensemble des objets vérifiant cette propriété. Une telle théorie, que l'on n'attribuera pas à Cantor, est contradictoire. Elle mène à deux famille de paradoxes. Les uns, comme le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation...) de Berry ou le paradoxe de Richard, se rattachent au fait que le langage n'est pas bien défini, les autres, comme le paradoxe de Russell à un usage trop large de la compréhension : quand on essaie de construire l'ensemble S = {A | A n'appartient pas à A} de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes on tombe sur une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.). L'actuel schéma d'axiomes de compréhension, proposé par Zermelo, est restreint afin d'éviter ce paradoxe.

Cantor connaissait, avant la découverte du paradoxe de Russell, des paradoxes plus complexes, mais de même nature, comme le paradoxe de Burali-Forti (En mathématiques le paradoxe de Burali-Forti, paru en 1897, désigne une construction qui, conduit dans certaines théories des ensembles ou théories des types trop naïves à une antinomie, c’est-à-dire que la théorie...) ou le paradoxe du plus grand cardinal. Beaucoup de théoriciens des ensembles s'entendent pour dire que l'axiomatisation la plus adéquate à la théorie développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe...) par Cantor est la théorie ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des ensembles la plus couramment utilisée en mathématiques contemporaines. Bien que la théorie ne...) avec axiome de fondation (L'axiome de fondation, encore appelé axiome de régularité, est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles. Introduit en 1925 par John von Neumann, il joue...) (voir ci-dessous), ou la théorie des classes de von Neumann, Gödel et Bernays, qui lui est, en un certain sens (qui peut être rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant à la fois des objets et des sources de...) précis), équivalente.

Au tournant du siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être l'âge du...), Cantor est de plus en plus handicapé par sa maladie (La maladie est une altération des fonctions ou de la santé d'un organisme vivant, animal ou végétal.) nerveuse, mais ses solutions aux paradoxes circulent par sa correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) et sont connues, à la fin du XIXème siècle, de Richard Dedekind et, à Göttingen, de David Hilbert et de Ernst Zermelo. Cependant, pour beaucoup de mathématiciens de l'époque, les paradoxes jettent un doute sur la validité de la théorie des ensembles, les solutions proposées par Cantor sont trop informelles pour convaincre ceux qui les connaissent. Certains s'orientent vers la méthode axiomatique, illustrée à la même époque par Hilbert pour les fondements de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie...) (1899).

Ainsi, en 1908, Ernst Zermelo construit un système d'axiomes pour la théorie des ensembles. En dehors de l'axiome d'extensionnalité, on peut voir ces axiomes comme une restriction de la version contradictoire du schéma d'axiomes de compréhension aux cas particuliers utiles, qui ne permettent pas de dériver les paradoxes. Dans ce système, il inclut également l'axiome du choix (qui n'a rien à voir avec la compréhension), un axiome à l'époque très controversé, avec lequel il a montré (en 1904) le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) du bon ordre, et qui a également été utilisé implicitement par Cantor. Ce système a été redéfini de façon plus formelle et complété dans les années 1920 par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem, qui ajouteront le schéma d'axiomes de remplacement (autre cas particulier de la compréhension non restreinte), donnant la théorie ZFC connue aujourd'hui.

Le problème de l'axiome du choix

Il y a plusieurs raisons pour lesquelles l'axiome du choix a été controversé et l'est encore aujourd'hui, aussi bien par certains des mathématiciens travaillant en mathématiques pures, que par de nombreux autres travaillant en mathématiques appliquées.

Une de ces raisons est que l'axiome du choix paraît intuitivement vrai pour les mathématiciens platoniciens, cela leur parait tellement évident qu'il leur semble étrange de devoir l'inclure dans les hypothèses nécessaires pour pouvoir démontrer certains théorèmes qui leur paraissent à eux aussi (les platoniciens) intuitivement vrais. La situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général...) est compliquée par le fait qu'il est indépendant des autres axiomes de la théorie ZF (c'est-à-dire ZFC sans l'axiome du choix). On peut donc créer deux sortes de mathématiques distinctes et toutes deux parfaitement valides, l'une acceptant l'axiome du choix et l'autre le niant. Le refus d'incorporer cet axiome ou sa négation mène à l'élimination d'un énorme pan des mathématiques (par exemple, la plus grande partie de ce qui a trait aux nombres réels) et son remplacement par une théorie qu'il resterait à élaborer.

Une autre raison est que, bien que l'axiome du choix permette de construire certaines parties des mathématiques, son utilisation conduit à certains résultats sans relation ou parfois contraires aux conceptions usuelles, et implique l'existence d'objets bizarres, contre-intuitifs. Un des meilleurs exemples de ces étrangetés est certainement la paradoxe de Banach-Tarski (Le paradoxe de Banach-Tarski, dû à Stefan Banach et Alfred Tarski, montre qu’il est possible de couper une boule de en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former...) qui, en utilisant l'axiome du choix, affirme qu'on peut découper une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un...) en un nombre fini de morceaux, les déplacer par une suite de mouvement rigides (translation et rotation), en permettant à certaines pièces d'en traverser d'autres et de les rassembler en formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est haute et inversement....) deux copies de la sphère d'origine. Il serait donc possible de violer par exemple la loi de conservation des masses (En mécanique des fluides, le principe de conservation de la masse peut s'exprimer sous plusieurs formes différentes : locale conservative (dérivée en temps normale),...) en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...). Cependant, après analyse, il n'y a pas de paradoxe, simplement une complication : le théorème souligne seulement que notre notion intuitive de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) n'existe pas en mathématiques.

Finalement, l'emploi de cet axiome ne permet pas de faire des démonstrations constructives, c'est-à-dire qui fournissent une méthode permettant d'effectuer les calculs ou de trouver une solution, mais permet seulement de montrer qu'une telle solution existe; ce que réprouvent les partisans de l'intuitionnisme.

Il est à noter qu'il existe aujourd'hui d'autres solutions que simplement accepter ou nier l'axiome du choix ; il est ainsi possible de le remplacer par une variante plus faible, tel l'axiome du choix dépendant.

Les axiomes de la théorie ZFC

La théorie qui se base sur les axiomes originaux de Zermelo est appelée théorie de Zemerlo ou théorie Z. Si on la complète par l'axiome de remplacement de Fraenkel, on obtient la théorie de Zermelo-Fraenkel, ou plus simplement la théorie ZF, bien que la forme finale des axiomes soit due à Skolem. Lorsqu'on lui adjoint l'axiome du choix, un axiome qui était plus controversé au moment de l'élaboration de ces théories qu'il ne l'est aujourd'hui, on obtient alors la théorie dite ZFC (" C " pour " choix ").

Un aspect important de la théorie ZFC est que tous les objets dont elle traite sont des ensembles et ne peuvent être que des ensembles. En particulier, chaque élément d'un ensemble est lui-même un ensemble. D'autres objets mathématiques familiers, tels que les nombres, doivent donc par conséquent être définis en termes d'ensembles.

Strictement parlant, les axiomes de ZFC sont simplement des énoncés du calcul des prédicats (Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques proposée par les logiciens du...) du premier ordre égalitaire dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance (relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendue de ces axiomes. De plus, l'axiome de séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans plusieurs domaines :) (ou compréhension) et l'axiome de remplacement sont en fait des schémas infinis d'axiomes.

  1. Axiome d'extensionnalité : Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont identiques.
  2. Axiome de l'ensemble vide : Il existe un ensemble sans élément. On le note \varnothing (ou plus rarement {}). Cet axiome ne fait pas à proprement partie de l'axiomatisation de ZFC : c'est une propriété générique des modèles du calcul des prédicats de posséder au moins un élément. On en déduit par le schéma d'axiomes de compréhension l'existence de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.).
  3. Axiome de la paire : Si x et y sont deux ensembles, alors, il existe un ensemble contenant x et y et eux seuls comme éléments. Cet ensemble se note {x,y}. Notez que x et y ne sont pas nécessairement distincts.
  4. Axiome de la réunion : Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble X, il existe un ensemble R dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de X et eux seuls.
  5. Axiome de l'ensemble des parties : Pour tout ensemble E, il existe un ensemble dont les éléments sont précisément les sous-ensembles de E. Cet ensemble se note habituellement P(E).
  6. Axiome de l'infini : Il existe un ensemble W dont \varnothing est élément et tel que pour tout x appartenant à W, x \cup \{x\} appartient aussi à W. On peut ensuite définir par compréhension l'intersection de tous les ensembles contenant \varnothing et clos par cette opération : il s'agit de l'ensemble des entiers de von Neumann.
  7. Schéma d'axiomes de compréhension ou de séparation : pour tout ensemble A et toute propriété P exprimée dans le langage, il existe un ensemble dont sont éléments les éléments de A vérifiant P. Le schéma de compréhension est conséquence du schéma de remplacement qui suit.
  8. Schéma d'axiomes de remplacement : Pour tout ensemble A et toute relation binaire (Une relation binaire est un concept mathématique qui systématise des notions comme « ... est supérieur ou égal à ... » en arithmétique, ou « ... est...) P, formellement définie comme une proposition P(x,y) et telle que P(x,y) et P(x,z) impliquent que y = z, il existe un ensemble contenant précisément les images par P des éléments de l'ensemble d'origine A.
  9. Axiome de fondation : Tout ensemble X non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) contient un élément y tel que X et y sont des ensembles disjoints (qui n'ont aucun élément en commun), ce qui se note X \cap y = \varnothing. Cet axiome n'est pas toujours ajouté à Z ou ZF. On peut construire assez facilement comme sous-classe d'un modèle quelconque de ZF, un modèle de ZF vérifiant l'axiome de fondation. Les ensembles utiles au développement des mathématiques appartiennent à cette sous-classe.
    Ajouter ou ne pas ajouter l'axiome de fondation n'a pas grande incidence pour le développement des mathématiques usuelles en théorie des ensembles.
  10. Axiome du choix : (version de Zermelo) Étant donné un ensemble X d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble y (l'ensemble de choix pour X) contenant exactement un élément pour chaque membre de X.
    L'axiome du choix reste controversé pour une minorité de mathématiciens. Des formes faibles existent, comme l'axiome du choix dépendant, indispensable pour le développement de l'analyse réelle.

L'indépendance dans la théorie des ensembles

De nombreux énoncés sont indépendants de la théorie ZFC. Cette indépendance est généralement prouvée par la méthode dite du forcing, c'est-à-dire en montrant que chaque modèle transitivement dénombrable de la ZFC (plus parfois des axiomes de grands cardinaux) peut être étendu pour satisfaire l'affirmation en question ainsi que, par une voie différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de...), sa négation. Une preuve d'indépendance par forcing prouve automatiquement l'indépendance vis-à-vis des affirmations arithmétiques, des autres affirmations concrètes et des axiomes de grands cardinaux.

Voici quelques affirmations dont l'indépendance est démontrable par forcing:

  • l'hypothèse du continu ;
  • le principe du losange ;
  • l'hypothèse de Suslin ;
  • l'hypothèse de Kurepa.

Note: Le principe du losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.) implique l'hypothèse du continu et la négation de l'hypothèse de Suslin. L'univers constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une construction (matérielle ou non).) satisfait l'hypothèse du continu généralisée, le principe du losange et l'hypothèse de Kurepa.

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