Opération ensembliste
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Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s’occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles.

Réunion

La réunion de deux ensembles A et B, notée A \cup B (lire " A union B "), se définit par :

A \cup B = \{ x | (x \in A) \vee (x \in B) \}\,

L’existence de l’ensemble résultant est garantie par l’axiome de la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700...). Son unicité découle de l’axiome d'extensionnalité.

Nous pouvons remarquer qu’il est possible d’établir un homomorphisme entre l’univers des ensembles muni de la réunion et celui des propositions muni du ou logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison,...). La réunion est ainsi dans l’univers des ensembles une loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux opérations qui peuvent s’y effectuer. Elle recherche les...) associative, commutative, idempotente, unifère et distributive par rapport à l’intersection (voir ci-après). L’ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) en est l’élément neutre.

La réunion est aussi une loi interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une...) dans l’ensemble P(E) des parties d’un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) E quelconque. Elle y possède non seulement les mêmes propriétés que ci-dessus, mais est de surcroît absorbante et son élément absorbant est l’ensemble E entier. Par contre, elle n’est en général ni régulière, ni inversible.

Le cardinal de l’union de deux ensembles n’est pas en général la somme des cardinaux de ces deux ensembles (sauf s’ils sont disjoints, c’est-à-dire si leur intersection est vide) :

\mathrm{card}( A \cup B ) = \mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B) - \mathrm{card}( A \cap B)\,

Intersection

L’intersection de deux ensembles A et B, notée A \cap B (lire " A inter B "), se définit par :

A \cap B = \{ x | (x \in A) \wedge (x \in B) \}\,

Nous pouvons remarquer qu’il est possible d’établir un homomorphisme entre l’univers des ensembles muni de l’intersection et celui des propositions muni du et logique. L’intersection est ainsi dans l’univers des ensembles une loi de composition (En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est aussi une application. C’est donc une application d’un produit cartésien de deux ensembles E...) interne associative, commutative, idempotente, absorbante et distributive par rapport à la réunion. L’ensemble vide en est l’élément absorbant.

L’intersection est aussi une loi interne dans l’ensemble P(E) des parties d’un ensemble E quelconque. Elle y possède non seulement les mêmes propriétés que ci-dessus, mais est de surcroît unifère et son élément neutre est l’ensemble E entier. Par contre, elle n’est en général ni régulière, ni inversible.

Complémentation ou différence

La complémentation d’un ensemble B dans un ensemble A, notée A \backslash B (lire " A moins B " ou " complément de B dans A "), se définit par :

A \backslash B = \{ x | (x \in A) \wedge (x \not \in B) \}\,

La complémentation est dans l’univers des ensembles une loi interne unifère à droite et absorbante à gauche d’élément neutre à droite et absorbant à gauche l’ensemble vide.

Différence symétrique ou réunion disjointe

La réunion disjointe de deux ensembles A et B, notée AΔB (lire " A delta B "), se définit par :

A \Delta B = \{ x | (x \in A) \oplus (x \in B) \}\,
(rappel : \oplus désigne le ou exclusif logique)

Il existe d'autres définitions équivalentes :

A \Delta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)\,
A \Delta B = \{ x | (x \in A \cup B) \wedge (x \not \in A \cap B) \}\,
A \Delta B = \{ x | (x \in A \backslash B) \vee (x \in B \backslash A) \}\,

Cette dernière définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) justifie l’appellation de différence symétrique souvent donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement,...) à cette opération.

La réunion disjointe est une loi interne de l’univers des ensembles, associative, commutative et unifère d’élément neutre l’ensemble vide.

Ensemble des parties

L’ensembles des parties d’un ensemble E, noté habituellement \mathcal{P}(E) ou \mathfrak{P}(E), est, comme son nom l’indique, l’ensemble formé par tous les sous-ensembles de l’ensemble E:

\mathfrak{P}(E) = \{ A | A \subseteq E \}

Par exemple si A = {a,b}, \mathfrak{P}(A)={Ø,{a},{b},A}

L’existence de l’ensemble des parties est assurée par un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être...), l’axiome de l'ensemble des parties. Cet axiome exprime en substance que pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ensemble E, il existe un ensemble F contenant tous les sous-ensembles de E.

L’unicité de l’ensemble des parties est assurée par un autre axiome, l’axiome d'extensionnalité.

L’ensemble des parties d’un ensemble, muni de la réunion, de l’intersection et de l’inclusion forme une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures...) de Boole.

Produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la...)

Le produit cartésien, noté A \times B (lire " A croix B "), de deux ensembles A et B est l’ensemble des couples dont la première composante vient de A et la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...) de B :

A \times B = \{ (x, y) | (x \in A) \wedge (y \in B) \}

On a pour A et B finis: \mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}(A) \;\mathrm{card}(B)

Différence entre produit cartésien dénombrable et non-dénombrable, axiome du choix, argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède ...) de Cantor

Somme disjointe

La réunion disjointe de deux ensembles A et B ne doit pas être confondue avec leur somme disjointe, notée A + B \, ou A \dot\cup B :

A + B = (\{ 0 \}\times A) \cup (\{ 1 \} \times B) = \{ ( 0, x) | (x \in A) \} \cup \{ ( 1, x) | (x \in B) \}\,

Les symboles 0\, et 1\, dans la définition précédente peuvent être remplacés par d’autres, par exemple \empty et \{\empty\}. La seule exigence est que les deux symboles utilisés différent l’un de l’autre.

La somme disjointe a été conçue pour que, contrairement à la réunion, le cardinal de son résultat soit toujours la somme des cardinaux des ensembles concernés :

\mathrm{card}( A + B ) = \mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B)\,

Elle peut être utilisée comme substitut à la notion de couple d’ensembles, surtout quand ces ensembles sont susceptibles d’être des classes.

Exponentiation

On définit F^E \, comme l’ensemble des applications de E dans F.

On peut alors identifier l’ensemble des parties d’un ensemble E, \mathfrak P(E), à \{0,1\}^E \, ; cela revient en effet à identifier chaque partie de E à son indicatrice.

On peut aussi considérer le produit cartésien \bigotimes_{i\in I}E_i comme étant l’ensemble EI.

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