Réflexion (mathématiques) - Définition

En mathématiques élémentaires, on appelle réflexion toute symétrie orthogonale par rapport à un axe du plan, ou par rapport à un plan de l'espace. L'origine du terme se conçoit bien en liaison avec les miroirs qui réfléchissent une image.

En mathématiques plus abstraites, la réflexion réfère à un automorphisme involutif d'un espace qui laisse invariant un sous-ensemble de codimension 1. Cela signifie qu'un espace bi-dimensionel (à n dimension) est retourné autour d'un axe uni-dimensionel (à n-1 dimensions) à l'intérieur de cet espace.

Noter que cela s'applique à plus que la géométrie euclidienne. Les réflexions en géométrie affine eu égard à un hyperplan donné n'est pas unique, par exemple. Aussi, une inversion en géométrie inversive est considérée une réflexion par cette définition.

(x,y) -> (x,-y)

Réflexion par rapport à l'axe des x :

f(x)  ->   − f(x)
(x,y) -> (x, − y)

(x,y) -> (-x,y)

Réflexion par rapport à l'axe des y :

f(x)  ->  f( − x)
(x,y) -> ( − x,y)

(x,y) -> (y,x)

Réflexion par rapport à l'axe y = x:

f(x)  ->  f^-1(x)
(x,y) -> (y,x)

(x,y) -> (-y,-x)

Réflexion par rapport à l'axe y = -x :

f(x)  ->  -f^-1(-x)
(x,y) -> ( − y, − x)