Réflexion (mathématiques)
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En mathématiques élémentaires, on appelle réflexion toute symétrie orthogonale par rapport à un axe du plan, ou par rapport à un plan de l'espace. L'origine du terme se conçoit bien en liaison avec les miroirs qui réfléchissent une image.

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) plus abstraites, la réflexion réfère à un automorphisme involutif d'un espace qui laisse invariant un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par...) de codimension 1. Cela signifie qu'un espace bi-dimensionel (à n dimension) est retourné autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit...) d'un axe uni-dimensionel (à n-1 dimensions) à l'intérieur de cet espace.

Noter que cela s'applique à plus que la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces...). Les réflexions en géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de...) eu égard à un hyperplan (En algèbre linéaire, les hyperplans sont définis dans la théorie des espaces vectoriels.) donné n'est pas unique, par exemple. Aussi, une inversion en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...) inversive est considérée une réflexion par cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.).

(x,y) -> (x,-y)

Réflexion par rapport à l'axe des x :

f(x)  ->   f(x)
(x,y) -> (x, − y)

(x,y) -> (-x,y)

Réflexion par rapport à l'axe des y :

f(x)  ->  f( − x)
(x,y) -> ( − x,y)

(x,y) -> (y,x)

Réflexion par rapport à l'axe y = x:

f(x)  ->  f-1(x)
(x,y) -> (y,x)

(x,y) -> (-y,-x)

Réflexion par rapport à l'axe y = -x :

f(x)  ->  -f-1(-x)
(x,y) -> ( − y, − x)

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