Statistique de Fermi-Dirac
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En mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à...), la statistique de Fermi-Dirac (En mécanique quantique, la statistique de Fermi-Dirac désigne la distribution statistique de fermions indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre...) désigne la distribution statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin de...) de fermions indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) d'un système à l'équilibre thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi la...). La distribution en question tient à une particularité des fermions : les particules de spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et sa charge électrique. Comme la...) demi-entier sont assujetties au principe d'exclusion de Pauli, à savoir que deux particules ne peuvent occuper simultanément un même état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum d'information possible sur le système, dans le but de prévoir les...).

Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...) de Fermi-Dirac

La statistique de Fermi-Dirac a été introduite en 1926 par Enrico Fermi et Paul Dirac. En 1927 elle fut appliquée aux électrons dans un métal (Un métal est un élément chimique qui peut perdre des électrons pour former des cations et former des liaisons métalliques ainsi que des liaisons ioniques dans...) par Arnold Sommerfeld. Statistiquement, le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) ni de particules dans l'état d'énergie Ei est donné par

n_i = \frac{ g_i } { \exp ( \frac{ E_i - \mu } { k T } ) + 1 } \,

où :

  • gi   est la dégénérescence de l'état d'énergie Ei , à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
  • μ   est le potentiel chimique ;
  • k   est la constante de Boltzmann ;
  • T   est la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du...) absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à...).

Limite classique et comparaison avec les bosons

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Fermi-Dirac tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann; il en est de même pour la statistique de Bose-Einstein (En mécanique quantique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à...) qui régit les bosons. À basse température, si les particules occupent en priorité les niveaux d'énergie les plus faibles, les statistiques diffèrent cependant. Par exemple, à température nulle :

  • avec la statistique de Fermi-Dirac, le niveau de plus basse énergie, E0 , est occupé par au plus g0 fermions; les états de basse énergie Ei sont ensuite occupés chacun dans l'ordre croissant des énergies par au plus gi fermions jusqu'à épuisement de ces derniers;
  • avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons (cas limite du condensat de Bose-Einstein).

Gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas...) de fermions quantiques

Les électrons dans les solides forment un gaz de fermions dont la description requiert la statistique de Fermi-Dirac. Récemment, le refroidissement de gaz d'atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se...) dilués fermioniques jusqu'à des températures de l'ordre du μK a permi d'obtenir des gaz de fermions dégénérés, uniquement descriptibles par cette statistique

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