Onde de Bloch
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Dans le cadre du cristal parfait infini, les électrons sont soumis à un potentiel périodique ayant la symétrie de translation des atomes constituant le cristal. Les ondes de Bloch (d'après Felix Bloch) sont des fonctions d'ondes décrivant des états quantiques électroniques ayant la même symétrie que le cristal (Cristal est un terme usuel pour désigner un solide aux formes régulières, bien que cet usage diffère quelque peu de la définition scientifique de ce mot. Selon l'Union internationale de cristallographie, tout...).

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Bloch

On considère un cristal parfait infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). Les potentiels possèdent donc la périodicité du réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est...) cristallin. Examinons les états propres d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) d'un électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de l'atome.) dans ce réseau.

Si nous baptisons par |\Psi_J> ~ les états propres du hamiltonien et | R_n> ~ les états propres de chaque potentiel localisé au nœud Rn du réseau, alors nous avons H|\Psi_J>=E |\Psi_J>~. Soit T_R~ l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) de translation de R. Si R appartient au réseau, alors H et T_R~ commutent et ont donc les mêmes sous-espaces propres.
En utilisant la propriétés d'invariance de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une...) des états propres par translation d'une période entière du réseau cristallin et la propriété de combinaison (Une combinaison peut être :) des translations, on obtient les valeurs propres de T_R ~, R fixé, sous la forme \Lambda_R=e^{ikR}\;.
On en déduit que la forme générale de la fonction d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de...) dans le cas d'un cristal est < r|\Psi_{k,n}>=\Psi_{k,n}(r)=e^{ikr} u_{k,n}(r) ~u_{k,n}(r) ~ est périodique avec la période du réseau cristallin.

< r|\Psi_{k,n}>=\Psi_{k,n}(r)~ est appelé onde de Bloch (Dans le cadre du cristal parfait infini, les électrons sont soumis à un potentiel périodique ayant la symétrie de translation des atomes constituant le cristal....)

Conséquences du théorème de Bloch

Le théorème de Bloch introduit un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de...) k. Il est nommé pseudo-moment de l'électron. Cette quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une...) remplace le moment P \over \hbar de l'électron lorsqu'on passe du problème d'un électron se mouvant dans un milieu continu à celui d'un électron se mouvant dans un potentiel périodique. Ce pseudo-moment n'est pas proportionnel à P. En effet la dérivation {\hbar \over i}\nabla~ introduit un terme supplémentaire e^{ikr}{\hbar \over i}\nabla u_{k,n}(r)~. Ainsi \Psi_{k,n}~ n'est pas un état propre de l'opérateur quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse d'un objet. La quantité de mouvement d'un système fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors des interactions entre...). D'une façon plus générale, la non-conservation de la quantité de mouvement et la non pertinence de cette grandeur dans le cadre d'un potentiel periodique d'etendue spatiale infinie peut sembler surprenante. Il faut se rapporter au théorème de Noether pour en comprendre l'origine. En effet le théorème de Noether fait découler directement la conservation de la quantité de mouvement de la symetrie de l'espace en regard des translations infinitésimales. Or en introduisant un potentiel cristallin, on tombe dans le cas d'une symétrie brisée (translations discrètes au regard des translations infinitésimales) et l'invariant associé n'a plus de raison d'être conservé.

Les zones de Brillouin

En se plaçant dans l'espace réciproque (La réciproque est une relation d'implication.), c'est-à-dire l'espace des k, on vérifie qu'on peut décrire l'énergie d'un état de Bloch en fonction de son vecteur k. On remarque tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de suite que k est défini à un vecteur du réseau réciproque près, à cause de la périodicité du facteur u_{n,k}(r) ~ dans le réseau direct. Conventionnellement, on choisit k plus proche du nœud 0 du réseau réciproque que de tout autre nœud. Ce domaine est la première zone de Brillouin. La deuxième zone de Brillouin est composée des points du réseau réciproque plus proches des premiers nœuds que du nœud 0 et des deuxièmes nœuds par ordre de distance au nœud 0, et ainsi de suite. Ainsi pour décrire complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de limiter la quantité...) les états d'un électron, on peut se contenter de faire varier le pseudo_moment k dans la première zone de Brillouin, à condition d'admettre que l'énergie est une fonction multiforme du moment. Les branches de la fonction énergie du vecteur k auxquelles on peut restreindre l'énergie pour avoir une fonction univoque de k sont appelées les bandes d'énergie. Les intervalles d'énergie pour lesquels il n'existe aucune branche ni aucune valeur de k correspondante sont appelés les bandes interdites.

Les bandes interdites

Apparition des bandes interdites

La tradition pédagogique des cours de physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) des solides est de faire apparaître la structure des bandes interdites par l'application d'un potentiel cristallin perturbatif (donc arbitrairement faible) sur des électrons libres: c'est le modèle des électrons presque libres. Partons d'une fonction d'onde d'électron libre |k>~

prenons le potentiel cristallin sous la forme:

V(r)=\sum_{m \neq 0}V(K_m)exp(iK_mr)~

Constatons d'abord que la perturbation introduite par ce potentiel ne peux pas être dans le cas général général une perturbation du premier ordre. En effet, tous les termes de ce potentiel sont oscillatoires et leur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de...) par toute fonction d'onde K sur un domaine suffisamment grand est nulle, sauf si les termes oscillatoires se compensent. On montre facilement que la fonction d'onde prend la forme:

|\Psi_k>=|k>+ \sum_{m \neq 0}u(K_m)|k+K_m>~

avec:

u(K_m)={{2m.V(K_m)}\over{{\hbar^2}[E(k)-(k+K_m)^2]}}~

Remarquons au passage que cette fonction d'onde est bien une onde de Bloch (il suffit de remplacer les kets par leurs formes fonctionnelles). En posant E(k) = k2 et vu la nature périodique du potentiel perturbateur V, toutes ces contributions sont nulles à l'exception de celles remplissant les conditions de Bragg, c.a.d. (k+K_p)^2=k^2~ ce qui donne comme valeur de E:

E={{\hbar^2k^2}\over{2m}}\pm[V(K_p)]~

Donc pour un point (Graphie) k à mi distance de l'origine et d'un premier nœud du réseau réciproque, c’est-à-dire k={-K_p\over 2}~ on a bien évidemment la condition de Bragg vérifiée et la valeur de E modifiée. Ce point est évidemment sur la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement...) de la première zone de Brillouin.

Forme des fonctions d'onde au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En...) de la frontière de zone

Au voisinage de points K_p\over 2,les formules données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) plus haut divergent, ce qui prouve que l'approche perturbative n'est pas appropriée. En fait la solution est une recombinaison de l'onde de vecteur { K_p\over 2} + \delta k et de l'onde de vecteur {-K_p\over 2}+ \delta k. Le couplage de ces deux niveaux provoque un éclatement de la bande d'énergies au voisinage des pointsK_p\over 2 et -K_p\over 2. Il en résulte l'ouverture autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent...) des points d'énegie {\hbar^2 \over {2 m_e}}({K_p\over 2})^2 d'un intervalle d'energie qui ne peut être atteint pour aucune valeur de k. En effet les énergies au voisinage de {K_p\over 2} sont fortement éclatées et ne peuvent donc pas être solution de valeurs au voisinage immédiat de {\hbar^2 \over {2 m_e}}({K_p\over 2})^2. Quant aux valeurs plus distantes de k, la perturbation de l'energie est trop faible pour la ramener à proximité de la valeur {\hbar^2 \over {2 m_e}}({K_p\over 2})^2.

Bibliographie

  • Charles Kittel, Solid State Physics, Wiley (1995). ISBN 0471111813
  • Ashcroft et Mermin, Physique des solides, Brooks Cole (2003, version française du livre paru en 1976). ISBN 2868835775
  • O. Madelung, Introduction to Solid State Physics, Springer, 1981. ISBN 0-387-08516-5
  • Blokhintsev, Mécanique quantique et applications à l'étude de la structure de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état...), Dunod, 1967. ISBN 2225509204
  • Blokhintsev, Physique du solide
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