Pendule simple de longueur variable
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La charge soulevée par une grue est un pendule simple de longueur variable l(t). En considérant simplement les petites oscillations, pour raison de simplicité, on peut montrer que descendre la masse réduit l'oscillation (a contrario, lever la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la masse grave). Ces...) amplifie l' oscillation).

Une calcul plus délicat s'impose pour effectuer le bilan d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.).

Equation du mouvement

Le fil supportant la masse m est de masse négligeable , sans raideur et inextensible. Sa longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) est l(t) = OM ,O étant fixe.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) du moment cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) appliqué en O donne :

 
 m \dot{(l^2\dot{\theta})} =  - mgl sin \theta, soit 
 
 
 l^2 \ddot{\theta} + 2 l \dot{l} \dot{\theta} + gl \theta = 0 , soit 
 
 
 \ddot{\theta} + 2 \frac{\dot{l}}{l} \cdot{\dot{\theta}} + \omega^2(t)\theta = 0 
 

Interprétation

Le deuxième terme de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) se comporte comme une résistance positive si l(t) augmente, et a contrario, comme une résistance négative si l(t) diminue.

Malheureusement ce raisonnement, souvent lu dans de la bonne littérature, est FAUX, car la pulsation n'est pas constante, et l'on sait bien qu'en changeant de fonction inconnue on peut modifier à son gré le terme "dit de résistance".

Maintenir cette erreur conduirait aisément à une décroissance de l'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) en 1/l(t), ce qui est faux pour l(t) lentement variable : on trouve l³.theta^4 = cste , ce qui n'a rien d'intuitif!

Bien sûr il convient de faire le bilan énergétique du système : comment de l'énergie a-t-elle été transferée au degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) d'oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux mêmes équations quel que soit...) , via l'allongement de l(t)?

Bien entendu, on peut très classiquement faire disparaître le terme de résistance par changement de jauge : on choisit l'arc AM = lθ := x , comme nouvelle inconnue et l'on trouve :

 
 \ddot{x} + \frac{g-\ddot{l}}{l(t)} \cdot{x} = 0 
 

Dès lors,

  • Si l(t) varie lentement la méthode WKB donne la solution  : voir le pendule adiabatique (On appelle équation du pendule adiabatique l'équation différentielle :).L'amplitude de x(t) croît comme sqrt(sqrt(l(t))).
  • Si l(t) = lo + v.t , alors l'équation devient une équation de Bessel : voir le pendule de Bessel (Quand la longueur d'un pendule simple varie de manière affine: l(t)= lo + vt, on dit qu'il s'agit d'un pendule de Bessel, car la solution (pour de petites...). On pourrait sans doute attaquer le problème avec les fonctions d'Airy.
  • Si l" = g , on reste intrigué, avec une attitude circonspecte.

Bref, il faut faire le calcul!

Bilan d'énergie

On appelle U la quantité :

U : = -mgl cos\theta + \frac{1}{2}m(\dot{l}^2 + l^2 \dot{\theta}^2)

et V : = U +mgl ; W : = V -1/2 m l'²

Quand on veut dire que de l'énergie a été transférée, il faudra bien distinguer entre U, V et W . Soit aussi x = l .theta , son énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique d’un corps est égale au travail...) n'est pas 1/2 m l² (theta')²: il faut donc être assez pointilleux.

Soit T la tension (La tension est une force d'extension.) du fil que tient l'expérimentateur. Puique la perle (Les perles sont de petites billes, généralement de couleur blanche, créées par certains mollusques, principalement les...) de céramique (Premier « art du feu » à apparaître (avant la métallurgie et le travail du verre), la céramique désigne l’ensemble des objets fabriqués en terre qui ont subi une...) en O est considérée sans frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) , le travail fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un archipel de petites îles...) au système est -T dl/dt=dU/dt.

Soit donc à vérifier que (mg-T)dl/dt = dV/dt.

On notera A l'élongation:

mg -T = ml" +mg(1-cosA)- mlA'² : on peut vérifier la pertinence de chaque terme.

Il reste à vérifier que dW/dt = m ( g(1-cosA)-lA'²)l' ?

La masse se simplifie ( principe de Galilée); il reste

1/m dW/dt = d/dt [gl(1-cosA) + 1/2 (lA')²] à calculer , soit

g(1-cosA)l' +lA'²l' +A'[gl sinA +l²A"]; or le dernier crochet vaut non pas zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des...), mais: -2.ll'A', compte-tenu de l'équation différentielle du mouvement.

IL Y A BIEN CONSERVATION DE L'ÉNERGIE.

Si l'on considère le mouvement lent, on retrouve les résultats du pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans doute celui de Foucault...) adiabatique :W~(lA)²/l varie comme 1/sqrt(l)

Autre interprétation

Au lieu de laisser filer le fil au travers de la perle située en O, on peut au contraire élever la perle en A , l(t) =OA(t) avec une vitesse (On distingue :) dl/dt. L'analyse est la même à condition de se placer dans le référentiel accéléré R ( origine A) où la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe...) apparente est simplement g +l". L'équation en x(t) se simplifie encore !

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