Applications de la trigonométrie - Définition

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- Introduction - Domaines auxquels la trigonométrie s'applique - Séries de Fourier - Interaction de ces domaines avec la trigonométrie - Statistiques - Les transformations de Fourier - Théorie des nombres - Une simple expérience avec des lunettes polarisées - Exponentielles complexes

Théorie des nombres

Il y a un lien entre la trigonométrie et la théorie des nombres. Grossièrement parlant, nous pourrions dire que la théorie des nombres traite les propriétés qualitatives des nombres plutôt que quantitatives. Un concept central en théorie des nombres est celui de la divisibilité (comme par exemple 42 est divisible par 14 parce que $42=3\times 14$ mais n'est pas divisible par 15). L'idée de réduire une fraction à des termes les plus petits possibles emploie également le concept de la divisibilité : par exemple, 15/42 ne comporte pas les plus petits termes possibles parce que 15 et 42 sont tous les deux divisibles par 3. Regardez la suites suivantes de fractions :

Éliminons ceux qui ne sont pas en plus petits termes ; gardons seulement ceux qui sont en plus petits termes

Puis utilisons la trigonométrie:

La valeur de la somme est -1. Comment savons-nous cela ? Parce que 42 a un nombre impair de facteurs premiers dans sa décomposition et aucun d'eux n'est répété : $42 = 2 \times 3 \times 7$ . (S'il y avait eu un nombre pair de facteurs premiers non-répétés alors la somme aurait été égale à 1 ; s'il avait eu des facteurs premiers répétés dans sa décomposition (par exemple, $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ) alors la somme auraient été nulle ; la somme est la valeur de la fonction de Möbius en 42). Ceci laisse entendre la possibilité d'appliquer l'analyse de Fourier à la théorie des nombres.

Une simple expérience avec des lunettes polarisées

Prenons deux paires de lunettes de soleil identiques avec des verres polarisés (des lunettes de soleil non polarisées ne conviennent pas pour cette expérience). Plaçons la lentille gauche d'une paire sur la lentille droite de l'autre, toutes les deux alignées de la même façon. Tournons lentement une paire, et observons la quantité de lumière les traversant diminuer jusqu'à ce que les deux lentilles soient à angle droit quand aucune lumière ne passe plus. Quand l'angle duquel une paire est tournée est $θ$ , quelle est la fraction de la lumière pénétrant dans les lentilles pour un angle nul qui passe à travers ? Réponse : c'est cos² θ. Par exemple, quand l'angle est de 60 degrés, seulement une fraction de 1/4 de la quantité de lumière quand l'angle est de 0 degré pénètre dans la série de deux lentilles, puisque le cosinus de 60 degrés est égal à 1/2.

Exponentielles complexes

Dans beaucoup d'applications de la trigonométrie, il est plus commode de convertir des fonctions trigonométriques en exponentielles complexes en utilisant deux identités dérivées de la formule d'Euler :

Ceci conduit à des calculs plus simples, puisqu'elles réduisent les utilisations des formules trigonométriques à l'application de règles sur la manipulation des exposants.