Arc tangente - Définition
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Introduction
En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la mesure d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.
La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[. Elle est en général notée Arc tan en notation française, en remplacement de l'ancienne notation arctg. La notation anglo-saxonne s'écrit atan ou tan-1, bien que cette dernière puisse être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan).
Concrètement, si x appartient à ]-π/2 ; π/2[ et y appartient à
La courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.
Dérivée
Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arctan est dérivable et vérifie :
On applique à f =tan le théorème de dérivée d'une fonction réciproque (d'une fonction dérivable dont la dérivée ne s'annule pas) :
qui, puisque tan'(y) = 1 + tan2y > 0, prouve que la dérivée de Arctan existe et vaut :
Équation fonctionnelle
De arctan(1⁄x) on peut déduire Arctan(x) et inversement :
Ces équations fonctionnelles peuvent se prouver par exemple en montrant que la est nulle.
On a :
et
donc
On en déduit que Arctan(1⁄x) + Arctan(x) est constante sur chaque intervalle de son ensemble de définition, et on trouve facilement la valeur de chacune de ces constantes en calculant par exemple la valeur prise en x = 1 et x = − 1.
Développement en série de Taylor
Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente est :
Cette série entière converge quand
Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas x = 1, appelée formule de Leibniz
La formule de Machin, plus sophistiquée,
fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de π et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.
Logarithme complexe
On peut exprimer la fonction arctangente par un logarithme complexe :
On réécrit la dérivée de la fonction arctangente :
On intègre de chaque côté :
Enfin, on calcule la constante d’intégration C en x = 0 :
On trouve donc finalement :
Fonction réciproque
Par définition, la fonction Arctan est la réciproque de la restriction de la fonction tan à l'intervalle ]-π/2 ; π/2[ :
![\forall y\in\left] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,\ y = \mathrm{Arctan}\ x \Leftrightarrow x = \tan y](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/f/f438db953e749fa78d4c3996abc53d6a_c1b1f9205fbb7abe8be614150b474d36.png)
Ainsi, pour tout réel x, tan(Arctan(x))=x. Mais l'équation Arctan(tan(y))=y n'est vérifiée que pour y compris entre -π/2 et π/2.
Formule remarquable
Nous avons la formule suivante :
Intégration
Primitive
La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 est
Cette formule se démontre grâce à une intégration par parties.
Utilisation de la fonction arctangente
La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme
Si le discriminant D = b2 − 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par
qui donne pour l'expression à intégrer
L'intégrale est alors
