Beauté mathématique - Définition et Explications

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Introduction

La frontière de l'ensemble de Mandelbrot.

Certains mathématiciens recherchent dans leur travail ou dans les mathématiques en général, un plaisir esthétique. Ils expriment ce plaisir en décrivant de « belles » parties des mathématiques.

Ils peuvent considérer les mathématiques comme un art ou comme une activité (Le terme d'activité peut désigner une profession.) créative. Des comparaisons sont souvent faites avec la musique et la poésie.

Bertrand Russell (Bertrand Arthur William Russell (18 mai 1872, Trellech, Monmouthshire -...) a donné son sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de la beauté mathématique en ces termes : « Les mathématiques, considérées à leur juste mesure, possèdent non seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide et austère, comme celle d'une sculpture (La sculpture existe depuis le paléolithique(il y a 25000 ans à peu près) et la petite figurine...), sans référence à une partie de notre fragile nature, sans les effets d'illusion magnifiques de la peinture ou de la musique, pourtant pur et sublime, capable d'une perfection sévère telle que seulement les plus grands arts peuvent la montrer. L'esprit vrai du plaisir, l'exaltation, l'impression d'être plus qu'un homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo...), qui est la pierre de touche de l'excellence la plus élevée, doit être trouvé dans les mathématiques aussi sûrement que la poésie. ».

Paul Erdős évoqua le caractère ineffable de la beauté des mathématiques en déclarant « pourquoi les nombres sont-ils beaux ? Cela revient à se demander pourquoi la neuvième symphonie de Beethoven est belle. Si vous ne voyez pas pourquoi, personne ne pourra vous l'expliquer. Je sais que les nombres sont beaux. S'ils ne sont pas beaux, rien ne l'est ».

La beauté dans les formules

Une formule est considérée comme « belle » si elle apporte un résultat essentiel et surprenant par sa simplicité par rapport à la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par...) apparente (donc en particulier une égalité dont un des membres est très simple alors que l'autre membre est très compliqué).

Un exemple de belle formule est celle de Leonhard Euler (Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le...) eiπ + 1 = 0, dont Euler lui-même disait qu'elle montrait la présence de la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à...) de Dieu.

Dans le roman Enigma, le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) fictif Tom Jéricho qualifie de « cristalline » la beauté de la formule \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + ... + \dfrac{(-1)^k}{2k+1} + ... = \dfrac{\pi}{4} (formule de Leibniz).

La beauté dans les théorèmes

Les mathématiciens voient la beauté dans les théorèmes mathématiques qui permettent de faire le lien entre deux domaines des mathématiques qui semblent à première vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) totalement indépendants. Ces résultats sont souvent considérés comme « profonds ».

Certains exemples sont souvent cités dans la littérature scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui...). C'est le cas de l'identité d'Euler eiπ + 1 = 0 qui fut appelée « la formule la plus remarquable en mathématiques » par Richard Feynman (Richard Phillips Feynman (11 mai 1918 - 15 février 1988) est l'un des physiciens les plus...). Les exemples modernes incluent le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Taniyama-Shimura qui établit un lien important entre les courbes elliptiques et les formes modulaires (travail pour lequel ses auteurs Andrew Wiles et Robert Langlands reçurent le prix Wolf), et la « Conjecture Monstrous Moonshine » qui établit un lien entre le groupe Monstre et les fonctions modulaires par l'intermédiaire de la théorie des cordes (La théorie des cordes est l'une des voies envisagées pour régler une des questions...) pour laquelle Richard Borcherds se vit décerner la médaille Fields (La médaille Fields est la plus prestigieuse récompense pour la reconnaissance de travaux...).

A contrario, un théorème trivial peut être une proposition qui se déduit de manière évidente et immédiate d'autres théorèmes connus, ou qui ne s'applique qu'à un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) spécifique d'objets particuliers tels que l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.). Cependant, il arrive qu'un théorème soit suffisamment original pour être considéré comme profond, bien que sa démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) soit assez évidente.

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