Beauté mathématique - Définition et Explications

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La beauté dans les méthodes

Preuve sans mots du théorème de Pythagore

Les mathématiciens peuvent qualifier une méthode dans une démonstration d' « élégante » quand :

  • Elle utilise peu de résultats préalables,
  • Elle est exceptionnellement courte,
  • Elle établit un résultat d'une façon surprenante (par exemple à partir de théorèmes qui ne sont apparemment pas en rapport avec celle-ci),
  • Elle est basée sur des concepts originaux,
  • Elle fait appel à une méthode qui peut être généralisée pour résoudre facilement une famille de problèmes semblables.

Dans la quête d'une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) élégante, les mathématiciens cherchent souvent différentes manières indépendantes d'établir un théorème ; la première démonstration trouvée peut ne pas être la meilleure. Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) pour lequel le plus grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de démonstrations différentes a été trouvé est probablement le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...) puisque des centaines de preuves ont été publiées Modèle:Rf. Un autre théorème qui a été démontré de beaucoup de façons est le théorème de réciprocité (Le principe de réciprocité, que l'on retrouve également dans d'autres domaines de la...) quadratique de Karl Friedrich Gauss dont au moins huit démonstrations différentes ont été publiées.

Inversement, des méthodes logiquement correctes mais qui impliquent des calculs laborieux, des méthodes trop nuancées, des approches très conventionnelles, ou qui s'appuient sur un grand nombre d'axiomes particulièrement puissants ou sur des résultats préalables eux-mêmes habituellement considérés comme peu élégants, peuvent être qualifiées de laides ou de maladroites. Ceci est lié au principe du rasoir d'Occam.

Exemple très simple

Soit un train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de...) se déplaçant d'un point (Graphie) A à un point B à la vitesse (On distingue :) de 10km/h.
La distance entre A et B est de 10km.
Soit une mouche (Mouche est un nom vernaculaire ambigu en français. Le terme mouche (/muʃ/) provient du...) qui part de B et qui fait des allers retours entre le point B et le train.
Cette mouche va à la vitesse constante de 60km/h (c'est une mouche très rapide.)
Elle fait constamment des allers retours entre le train et le point B et s'arrête dès que le train est arrivé.
On doit calculer quelle distance la mouche parcourt en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...).

Une première méthode non élégante consisterait à calculer les différents points où le train et la mouche se rencontrent, mettre cette distance sous la forme d'une suite, puis faire une somme infinie des termes de cette suite (lorsque le train va se rapprocher de l'arrivée, la mouche va rebondir très très vite, les points de rencontre vont tendre vers l'infini) et on obtient après de très longs calculs la réponse.

Une autre méthode dite élégante serait de constater que la mouche va s'arrêter en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) que le train, c'est-à-dire au bout d'une heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur...), donc qu'elle aura parcouru exactement 60km.

Ce problème est classiquement posé dans l'unique but de tester l'aptitude d'un élève à choisir la méthode la plus simple.

La beauté et la philosophie

Certains mathématiciens s'accordent à dire que faire des mathématiques est plus proche de la découverte que de l'invention. Ils estiment que les théorèmes détaillés et précis des mathématiques peuvent être raisonnablement considérés comme vrais indépendamment de l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) dans lequel nous vivons. Par exemple, certains prétendent que la théorie des nombres (Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe...) entiers naturels est fondamentalement valable, d'une manière qui n'exige aucun contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le...) spécifique. Des mathématiciens ont extrapolé ce point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et...) en considérant la beauté mathématique (Certains mathématiciens recherchent dans leur travail ou dans les mathématiques en...) comme une vérité, se rapprochant dans certains cas du mysticisme. Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας /...) (et son école philosophique entière) croyaient en la réalité littérale des nombres. La découverte de l'existence de nombres irrationnels provoqua un grand désarroi au sein de l'école; ils considérèrent l'existence de ces nombres non exprimables comme rapport de deux entiers naturels, comme une poussière dans l'univers. Dans la perspective moderne, la vision mystique des nombres par Pythagore serait celle d'un numérologiste plutôt que celle d'un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...).

Dans la philosophie de Platon (Platon (en grec ancien Πλάτων / Plátôn),...) il y a deux mondes, le monde (Le mot monde peut désigner :) physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) dans lequel nous vivons et un monde abstrait différent qui contient la vérité invariable, y compris celle des mathématiques. Il pensait que le monde physique était un simple reflet (Un reflet est, en physique, l'image virtuelle formée par la réflexion spéculaire...) du monde abstrait plus parfait.

On rapporte que Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence,...) prétendait que les « mathématiques sont la langue avec laquelle Dieu écrivit l'univers ».

Le mathématicien hongrois Paul Erdős, bien qu'athée, parla d'un livre imaginaire, dans lequel Dieu nota toutes les plus belles démonstrations mathématiques. Quand Erdős voulut exprimer sa satisfaction particulière d'une démonstration, il se serait exclamé « Celle-ci vient du livre ! ». Ce point de vue exprime l'idée que les mathématiques, étant la base intrinsèquement vraie sur laquelle sont établies les lois de notre univers, sont un candidat naturel pour être personnifiées en Dieu, selon différentes religions mystiques.

Le philosophe français du vingtième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) Alain Badiou affirme que l'ontologie est des mathématiques. Badiou croit également en des liens profonds entre les mathématiques, la poésie et la philosophie.

Dans certains cas, les philosophes et les scientifiques qui ont beaucoup utilisé les mathématiques établirent des liens entre la beauté et la vérité physique de manières qui se sont avérées fausses. Par exemple, à une étape dans sa vie (La vie est le nom donné :), Johannes Kepler (Johannes Kepler (ou Keppler), né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt dans...) crut que les proportions des orbites des planètes connues jusqu'alors dans le système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le...) avaient été arrangées par Dieu pour les faire correspondre à un arrangement (La notion d'arrangement est utilisée en probabilités, et notamment pour les...) concentrique des cinq solides platoniciens, chaque orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps...) se trouvant sur la circonférence d'un polyèdre (Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes...) et l'insphere des autres. Comme il y a exactement cinq solides platoniciens, la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) de Kepler ne pourrait seulement s'appliquer qu'à six orbites planétaires, et fut réfutée ultérieurement par la découverte d'Uranus. James Watson fit une erreur semblable quand il postula que chacune des quatre bases azotées de l'ADN est reliée à une base du même type se trouvant à l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...) (thymine reliée à la thymine, etc.) en se basant sur la croyance que « ce qui est beau doit être vrai ».

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