Coïncidence mathématique - Définition

Introduction

En mathématiques, une coïncidence mathématique est une expression de quasi égalité entre deux quantités, sans qu'il y ait une explication théorique directe.

Introduction

Une coïncidence mathématique réside souvent dans le fait qu'un nombre réel est proche d'un nombre entier, ou plus généralement proche d'un nombre rationnel avec un petit dénominateur. Étant donné le très grand nombre de façons de combiner les expressions mathématiques, il en existe un très grand nombre.

Bien que les coïncidences mathématiques soient parfois utiles, elles sont principalement célèbres en tant que curiosités ou récréations mathématiques.

Expressions numériques

Les puissances de π

• est vrai à 1,3% près. Cette coïncidence a été utilisée dans la conception de la règle à calculs, en particulier dans les graduations de la réglette centrale.
• vrai à 0,0004% près (à noter que 2, 227, et 23 sont des nombres premiers de Chen).
• (en fait 31,0062...);
• (en fait 306,0196...).
• (vrai à 0,15% près).
• ou , juste sur 8 décimales.

Le nombre e

• , à 0,016% près.
• Pour tout entier n, les premières décimales de n − e sont composées de 2, 7, 1, et 8, c'est-à-dire les premiers chiffres de e.
• à 0,000015% près (un pour 10 millions), où ψ est la fonction polygamma et exp est la fonction exponentielle.

Formules avec π et e

• , vrai à 0,000 005% près.

• est très proche de 20 (Conway, Sloane, Plouffe, 1988), et est équivalent à

• , vrai à 0,089% près. C'est équivalent à : .

• , vrai à 0,15% près.

• , vrai à 0,067% près.

Formules avec π, e et le nombre d'or

• , vrai à 0,001% près.

• , vrai à 0,3% près.

Formules avec π, e et le nombre 163

• , vrai à 0,0005% près.

• , vrai à 0,000 004% près.

• Constante de Ramanujan: , vrai à près.
  Ceci implique : , qui est vrai pour environ 20 chiffres.

Note: est proche d'un entier pour de nombreuses valeurs de n, en particulier pour n = 163, ce qui est expliqué par la théorie algébrique des nombres. Voir nombre de Heegner et nombre presque entier.

Quelques exemples

Formules avec π

• La première réduite de π par fraction continue; [3; 7] = 22/7 = 3,1428..., était connue d'Archimède, et elle est vraie à environ 0.04% près.
• La troisième réduite de π, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929..., trouvée par Zu Chongzhi, est vraie sur 6 décimales, soit 85 pour un milliard; cette extrême précision vient du fait que π a un quatrième terme inhabituellement élevé dans sa représentation en fraction continue : π = [3; 7, 15, 1, 292, ...].

La base 2

• La coïncidence , vraie à 2,4% près, renvoie à l'expression rationnelle , ou , vrai à 0,3% près. Cette relation est utilisée en ingénierie, par exemple pour donner une approximation d'une puissance de 2 avec 3 dB (en fait 3,0103 dB), ou pour passer d'1 kilobyte à 1 kibibyte; voir Préfixe binaire.
• En utilisant 3/10 comme approximation de log₁₀2, on trouve les approximations suivantes pour les log d'autres valeurs :
  • amène à (à comparer à 0,4771, vrai à 0.5% près)
  • amène à (à comparer à 0,8451, vrai à 0,6% près)

Les intervalles musicaux

• Les coïncidences et amènent à l'observation souvent utilisée en musique qui fait correspondre 7 demi-tons de la gamme tempérée à une quinte de la gamme naturelle : , vrai à 0,1% près. La quinte est la base de la gamme pythagoricienne et de la plupart des systèmes musicaux.
• De l'approximation , il résulte que le cycle des quintes se termine sept octaves plus haut que l'origine.