Courbe elliptique - Définition

Multiplication complexe

L'addition permet naturellement de définir la multiplication d'un point de la courbe par un nombre entier (par exemple (-3). P est défini par -(P+P+P)). Mais il peut arriver que la courbe ait d'autres multiplications. Par exemple, sur la courbe d'équation affine y² = x³ − x, définie sur le corps des rationnels, on peut aussi définir une multiplication par i (le nombre complexe tel que i² = − 1), en posant i.P(x,y) = P'( − x,iy), et plus généralement on peut définir la multiplication des points par n'importe quel entier de Gauss, c'est-à-dire n'importe quel nombre complexe de la forme a + bi, avec a,b des entiers relatifs.

Pour des courbes elliptiques définies sur des corps de caractéristique 0 (par exemple le corps des rationnels), ce sont essentiellement les deux seuls cas possibles : soit il n'y a que la multiplication par des entiers relatifs, soit il y a multiplication complexe par un ordre dans un corps quadratique imaginaire.

Courbes elliptiques sur les corps finis

Soit un corps fini à q éléments et E une courbe elliptique définie sur ce corps. Un premier résultat important concerne le nombre de points de E. En comptant le point à l'infini, on a le résultat suivant, dû à Helmut Hasse :

Autrement dit, l'ordre de grandeur du nombre de points de la courbe est à peu près le même que le nombre d'éléments dans le corps.

L'ensemble des points forme un groupe abélien fini ; c'est toujours un groupe cyclique ou produit de deux groupes cycliques.

Par exemple la courbe d'équation y² = x³ − x définie sur a 72 points à coordonnées dans ce corps, formant un groupe du type .

L'étude de cette courbe sur des extensions de est facilitée par l'introduction de la fonction zêta de E sur , définie comme cela a déjà été mentionné plus haut par la série génératrice :

où les corps K_n sont les extensions de de degré n (autrement dit des corps finis de cardinal qⁿ). On a alors

Théorème —  La fonction Z(E / K,T) est une fonction rationnelle de T. Il existe un entier a tel que De plus et , avec α,β des nombres complexes de module .

Ces résultats constituent les conjectures de Weil pour les courbes elliptiques. Par exemple, la fonction zêta de y² + y = x³ sur le corps à 2 éléments est (1 + 2T²) / (1 − T)(1 − 2T) ; la courbe a 2^r + 1 points sur le corps si r est impair, 2^r + 1 − 2( − 2)^{r / 2} si r est pair.

Les courbes elliptiques définies sur des corps finis ont des applications en algorithmique, notamment en cryptographie et pour la factorisation d'entiers. Généralement, l'idée derrière la composition originale de ces algorithmes fut celle d'une généralisation des corps finis, plus précisément du groupe multiplicatif vers les courbes elliptiques, plus précisément leur groupe de points à coordonnées dans . On a adapté des algorithmes qui faisaient usage de corps finis pour qu'ils fassent usage de courbes elliptiques à leur place. L'intérêt des courbes elliptiques est la richesse qu'elles offrent pour chaque nombre q.

Repères chronologiques

Quelques précisions sur le point à l'infini et les équations

Point à l'infini

Le cadre usuel pour définir et décrire les courbes elliptiques est celui de l'espace projectif sur un corps K. En dimension 2, dans le plan projectif, les points sont donnés par trois coordonnées x, y, z, en excluant le triplet (0, 0, 0) et en identifiant les points de coordonnées (x, y, z) et (λx, λy, λz), pour tout nombre λ non nul dans le corps K. Lorsque z est différent de 0, disons, on peut représenter le point (x, y, z) par (x / z, y / z, 1), et donc lui associer un point du plan affine usuel (x / z, y / z). Les points pour lesquels z est égal à 0 forment une droite 'à l'infini'.

Dans ce cadre, une courbe elliptique sur le corps K est définie par une équation cubique homogène:

où les coefficients a₁, a₂, a₃, a₄, a₆ appartiennent à K donné et sous la condition que la courbe ainsi définie ne soit pas singulière. Cette dernière condition s'exprime par le fait qu'un certain polynôme en les coefficients (analogue au Δ donné plus haut) ne s'annule pas.

La courbe elliptique y²z = x³ + z³, avec son point à l'infini

Que se passe-t-il à l'infini, c'est-à-dire pour z = 0 ? On trouve que x = 0, donc y ne peut être nul et le seul point de la courbe à l'infini est le point (0, 1, 0) (rappelons que dans le plan projectif, (0, y, 0) et (0, 1, 0) définissent le même point). Pour z distinct de 0, on peut diviser toutes les coordonnées par z³ et l'équation devient celle dans le plan affine donnée au début de l'article.

Le point à l'infini (qui est un point d'inflexion) est mis en valeur sur la représentation ci-contre de la courbe dont l'équation affine est y² = x³ + 1 .