Fonction rationnelle
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En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un corps K. En pratique, ce corps est généralement \R (corps des réels) ou \mathbb C (corps des complexes). Si P et Q sont deux fonctions polynômes et si Q n'est pas une fonction nulle, la fonction f = \frac{P}{Q} est définie pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x tel que Q(x) \ne 0 par

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Toute fonction polynôme (En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une application associée à un polynôme à coefficients dans un...) non-nulle Q est acceptable mais la possibilité que pour un a donné, Q(a) = 0 implique que contrairement aux fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles n'ont pas un domaine de définition toujours égal à K.

Les racines du polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent...) Q sont appelées pôles de la fonction rationnelle (En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un corps K. En pratique, ce corps est généralement (corps des réels) ou (corps des complexes). Si P et Q sont deux fonctions...).

Exemple : soit

f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}

cette fonction est définie pour tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel x mais elle ne l'est pas pour tous les nombres complexes. Le dénominateur est 0 quand x = i et quand x = − i, où i est l'unité imaginaire.

Utilisations

Les fonctions rationnelles sont utilisées en analyse numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...) pour faire l'interpolation et le lissage de fonctions. L'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une...) est bien adaptée aux logiciels d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) symbolique et de calculs numériques car tout comme les polynômes, elle peuvent être évaluées efficacement tout en étant plus expressives que ceux-ci.

Décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) en éléments simples

Toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'un polynome et de fractions dont les dénominateurs sont des polynomes premiers et dont le degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) du numérateur est inférieur à celui du dénominateur.

En pratique, dans \mathbb C, toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'une fonction polynôme et de fonction de type c \over az+b. Dans \R, toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'une fonction polynôme et de fonctions de types c \over ax+b ou dx+e \over ax^2 + bx + c

La décomposition en éléments simples permet de faciliter le calcul d'intégrales.

Fonction rationnelle et fraction rationnelle

Du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...), il faut distinguer le polynôme qui est d'abord une expression formelle et la fonction polynôme sur un domaine donné. Ceci est également vrai pour les quotients de polynômes. En algèbre générale (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et des relations entre elles. Le terme...), on appelle fraction rationnelle un élément du corps des fractions d'un anneau de polynômes. Pour poser cette définition, on doit partir d'un domaine d'intégrité (anneau commutatif unitaire intègre) R puis construire

R[X,Y,\ldots,T],

l'anneau des polynômes en X, Y,..., T. Cet anneau sera aussi un domaine d'intégrité. Il est alors possible de construire le corps des fractions de cet ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) appelé ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans R et d'indéterminées X, Y ,... T

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