Courbe
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Définition des courbes gauches

On se place cette fois dans l'espace à trois dimensions usuel, muni d'un repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j},\vec{k}).

Équation paramétrique

L'équation paramétrique prend cette fois la forme

\vec{OM}=x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t)\vec{k} .

Le principe du calcul de la tangente est le même : en un point (Graphie) où le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par...) dérivé

\vec{OM}'= \frac{d \vec{OM}}{d t} = x'(t) \vec{i} + y'(t) \vec{j}+ z'(t)\vec{k}

est non nul, il y a une tangente à la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...), dirigée par ce vecteur.

Équations cartésiennes

Une équation de la forme F(x,y,z)=C définit un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) appelé surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) de niveau de la fonction F. Sous certaines conditions, l'intersection de deux surfaces de niveau définit une courbe et permet le calcul de sa tangente.

Voici le détail de ces conditions pour l'intersection

\begin{cases}F(x,y,z)=C\\ G(x,y,z)=D\end{cases}.

Si les fonctions F et G sont différentiables et que les vecteurs gradients de F et G en un point M de l'intersection sont des vecteurs indépendants, alors la courbe d'intersection possède une tangente dirigée par le vecteur

\vec{T}=\vec{\nabla} F \wedge  \vec{\nabla} G.

Avec les coniques, on a un exemple très classique d'introduction des courbes par intersection de surfaces : ce sont les courbes obtenues par intersection d'un cône de révolution et d'un plan.

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à...) intrinsèque

Le principe est le mêmeq que pour les courbes planes, mais l'invariant de torsion (La torsion est la déformation subie par un corps soumis à l'action de deux couples opposés agissant dans des plans parallèles.) peut intervenir. Par exemple, R le rayon de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de...) et T le rayon de torsion, R = a et T = b (a, b donnés) déterminent une hélice (Hélice est issu d'un mot grec helix signifiant « spirale ». Un objet en forme d'hélice est dit hélicoïdal.) circulaire.

Modes de définition d'une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :)

Il existe pour les courbes planes plusieurs modes d'introduction traditionnels. On se place ici dans le plan de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...), muni d'un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). On fait l'hypothèse générale que les fonctions qui apparaissent sont dérivables. La raison de cette limitation apparaîtra un peu plus bas.

Équation paramétrique

Une courbe définie par une équation paramétrique est le lieu des points M(x,y), où x et y sont des fonctions d'un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) t prenant ses valeurs dans une partie de \R

\overrightarrow{OM}=x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j} .

En un point où le vecteur dérivé

\overrightarrow{OM}'= \frac{d \overrightarrow{OM}}{d t} = x'(t) \overrightarrow{i} + y'(t) \overrightarrow{j}

est non nul, il y a une tangente à la courbe, dirigée par ce vecteur.

L'interprétation cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont...) classique est de considérer le paramètre t comme le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), le vecteur dérivé est alors le vecteur vitesse (On distingue :).

Il convient alors de distinguer

  • la courbe, qui est souvent appelée trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.), et qui est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du...) du plan ;
  • l'arc paramétré proprement dit qui est la courbe munie de sa « loi de temps », c'est-à-dire le couple de fonctions x(t),y(t).

Remarque : La représentation graphique d'une fonction y=f(x) peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme un cas particulier de courbe paramétrée : en prenant comme paramètre l'abscisse elle-même (t=x), on a x(t)=t, y(t)=f(t).

Équation polaire

On utilise pour ce type de courbe les coordonnées polaires (Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.). La courbe est alors définie par une fonction \rho(\theta)\, et ses points ont pour coordonnées polaires (\theta, \rho(\theta))\,.

On peut facilement se ramener à une courbe paramétrée, d'équations x=\rho(\theta)\cos\theta, y=\rho(\theta)\sin\theta\,. Mais les mathématiciens traitent ces courbes par des méthodes adaptées, en introduisant en premier lieu la notion de repère mobile.

Équation cartésienne

Étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement,...) une fonction f de x et de y, on appelle courbe d'équation cartésienne f(x,y)=C l'ensemble des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient cette équation.

On parle aussi pour cet ensemble de la ligne de niveau C de la fonction f. Si la fonction f représente une altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et biogéographique qui explique la répartition de la vie sur...), on retrouve le concept familier de courbe de niveau d'une carte de géographie (La géographie (du grec ancien γεωγραφία - geographia, composé de "η γη" (hê...).

Par exemple la ligne de niveau R>0 pour la fonction f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} est le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il...) de centre O et de rayon R.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique...) des fonctions implicites permet de trouver l'équation de la tangente à cette courbe en un point donné. Précisément, un point M=(x,y) appartenant à la courbe est dit régulier quand le gradient de f est non nul en ce point. Et dans ce cas, la tangente est orthogonale au vecteur gradient.

Équation intrinsèque

Il s'agit de décrire une courbe par une équation reliant exclusivement les invariants euclidiens : abscisse curviligne, rayon de courbure (ou courbure), rayon de torsion (ou torsion). Pour les courbes planes, l'invariant de torsion n'intervient pas. À la différence des systèmes précédents, de telles équations déterminent par nature les courbes indépendamment de leur orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la boussole) ;) dans l'espace : les courbes sont donc définies à un déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense...) près. Les équations les plus simples déterminent en général des courbes de type spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.).

Exemples :
  • s désignant l’abscisse curviligne et R le rayon de courbure,
    • R2 + s2 = 16a2 (a donné) détermine une cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans...),
    • R \times s=a^2 (a donné) détermine une clothoïde (La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne.),
    • R = a \times s (a donné) détermine une spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :),
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