Diagramme de Coxeter-Dynkin - Définition

Exemples

• Un nœud unique représente un miroir unique. Ceci est appelé le groupe A₁. S'il est annelé, il crée un digone ou une arête perpendiculaire au miroir, représenté par {} ou {2}.
• Deux nœuds non attachés représentent deux miroirs perpendiculaires. Si les deux nœuds sont annelés, un rectangle peut être créé ou un carré si le point est à égale distance des deux miroirs.
• Deux nœuds attachés par une arête d'ordre n peut créer un n-gone si le point est sur un miroir, et un 2n-gone si le point est en dehors des deux miroirs. Ceci forme le groupe D₂ⁿ.
• Deux miroirs parallèles peuvent représenter un groupe de polygone infini D₂^∞, aussi appelé W₂.
• Trois miroirs dans un triangle forment des images vues dans un kaléidoscope traditionnel et sont représentées par 3 nœuds attachés dans un triangle. En répétant les exemples auront des arêtes étiquetées comme (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), bien que les deux derniers peuvent être dessinés dans une droite avec l'arête 2 ignorée. Ceux-ci engendreront les pavages uniformes.
• Trois miroirs peuvent engendrer les polyèdres uniformes, incluant les nombres rationnels est l'ensemble des triangles de Schwarz.
• Trois miroirs avec un perpendiculaire au deux autres peut former les prismes uniformes.

En général, tous les n-polytopes réguliers, représentés par le symbole de Schläfli {p,q,r,...} peuvent avoir leur domaines fondamentaux représentés par un ensemble de n miroirs et sont reliés dans un diagramme de Coxeter-Dynkin dans une droite de nœuds et d'arêtes étiquetées par p,q,r...

Les groupes de Coxeter infinis

Les familles de pavages uniformes convexes sont définis par les groupes de Coxeter.

Notes :

• Les groupes réguliers (linéaires) peuvent être donnés avec une notation équivalente avec des accolades.
• Le groupe S_n peut aussi être étiqueté par une notation h[] comme une moitié d'un régulier.
• Le groupe Q_n peut aussi être étiqueté par une notation q[] comme un quart d'un régulier.
• Les groupes bifurqués T_n sont aussi étiquetés par une forme exposant [3^a,b,c] où a,b,c sont le nombre de segments dans chacune des 3 branches.

n	P3+	Q5+	R3+	S4+	T7-9	U5	V3	W2
2								W2=[∞]
3	P3=h[6,3]		R3=[4,4]				V3=[6,3]
4	P4=q[4,3,4]		R4=[4,3,4]	S4=h[4,3,4]
5	P5	Q5=q[4,3²,4]	R5=[4,3²,4]	S5=h[4,3²,4]		U5=[3,4,3,3]
6	P6	Q6=q[4,3³,4]	R6=[4,3³,4]	S6=h[4,3³,4]
7	P7	Q7=q[4,34,4]	R7=[4,34,4]	S7=h[4,34,4]	T7=[32,2,2]
8	P8	Q8=q[4,35,4]	R8=[4,35,4]	S8=h[4,35,4]	T8=[33,3,1]
9	P9	Q9=q[4,36,4]	R9=[4,36,4]	S9=h[4,36,4]	T9=[35,2,1]
10	P10	Q10=q[4,37,4]	R10=[4,37,4]	S10=h[4,37,4]
11	...	...	...	...

Note : (des noms alternatifs comme les groupes simples de Lie sont aussi donnés)

1. P_n est un groupe cyclique. (aussi nommé ~A_n-1)
2. Q_n (aussi nommé ~D_n-1)
3. R_n forme la famille de pavage régulier de l'hypercube {4,3,....}. (aussi nommé ~B_n-1)
4. S_n forme la famille de pavage alternée hypercubique. (aussi nommé ~C_n-1)
5. T₇,T₈,T₉ sont les pavages de Gosset. (aussi nommé ~E₆,~E₇,~E₇)
6. U₅ est le pavage régulier du 24-cellules {3,4,3,3}. (aussi nommé ~F₄)
7. V₃ est le pavage hexagonal. (aussi nommé ~H₂)
8. W₂ est composé de deux miroirs parallèles. (aussi nommé ~I₁)