Drapeau (mathématiques) - Définition

Introduction

En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel de dimension finie E est une suite finie croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :

Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces E_i forment une suite croissante finie d'entiers

.

Si d_i=i, alors le drapeau est dit total.

Exemple : si E est l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n, les espaces successifs pour i allant de 0 à n constituent un drapeau total de E.

Base adaptée à un drapeau

À toute base de l'espace E de dimension finie est associé un drapeau constitué des espaces successivement engendrés

.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs e_i ainsi : e_i appartient à E_i mais pas à E_{i − 1}.

Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux

Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel toujours supposé de dimension n. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes:

1. u est trigonalisable.
2. Il existe un drapeau total de E stable par u. (ou un drapeau u-stable)

Drapeau stable par un endomorphisme

Si u est un endomorphisme de E, alors on dit que le drapeau est stable par u si

.

Par exemple, si on reprend pour E l'espace et le drapeau formé des espaces successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X+1)), etc...

Les drapeaux dans le cadre euclidien

L'espace est de dimension finie et, en outre, muni d'un produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé en base orthonormale.

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau