Entier relatif - Définition

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Fragments d'histoire

La première allusion à des nombres négatifs apparaît dans des textes indiens comme l'Arybhatiya du mathématicien indien Âryabhata (476 - 550) où sont définies les règles d'additions et de soustractions. Les nombres négatifs apparaissent alors comme représentant des dettes et les nombres positifs comme des recettes. Quelques siècles plus tard, dans les écrits du mathématicien perse Abu l-Wafa (940 - 998), on voit apparaïtre des produits de nombres négatifs par des nombres positifs. Cependant le nombre reste encore attaché à des quantités physiques et le nombre négatif n'a guère de statut légal. al Khuwarizmi (783 - 850) par exemple, dans son ouvrage la Transposition et la réduction préfère traiter 6 types d'équations du second degré au lieu d'envisager des soustractions.

En Europe les nombres relatifs apparaissent tardivement, on attribue en général à Simon Stevin (1548 - 1620) la fameuse pour le produit de deux entiers relatifs. D'Alembert (1717 - 1783) lui-même dans l'encyclopédie envisage le nombre relatif comme une idée dangereuse.

« Il faut avouer qu'il n'est pas facile de fixer l'idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens ont même contribué à l'embrouiller par les notions peu exactes qu'ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c'est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que 1 n'est pas comparable à - 1 , & que le rapport entre 1 & -1 est différent du rapport entre - -1 & 1, sont dans une double erreur: 1(...) Il n'y a donc point réellement & absolument de quantité négative isolée: - 3 pris abstraitement ne présente à l'esprit aucune idée.  » (D'Alembert, dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers)

Il faut attendre encore deux siècles et l'avènement du formalisme pour voir apparaître une construction formelle de l'ensemble des entiers relatifs à partir de classes d'équivalence de couples d'entiers naturels

C'est à Richard Dedekind (1831 - 1916) que l'on doit cette construction. Lui-même utilisait la lettre K pour désigner l'ensemble des entiers relatifs. Plusieurs autres conventions ont eu cours, jusqu'à ce que Nicolas Bourbaki popularise l'usage de la lettre \mathbb{Z}, initiale de l'allemand Zahlen (nombre)

Ensemble des entiers

Construction

L'ensemble Z des entiers relatifs peut être vu comme le symétrisé du semi-anneau N des entiers naturels.

Une représentation d'une construction des entiers relatifs
Une représentation d'une construction des entiers relatifs

Structure

L'ensemble des entiers relatifs, muni de ses lois d'addition et de multiplication, est le prototype de la notion d'anneau. Il s'agit même d'un anneau euclidien, en référence à la division euclidienne. Il est donc également principal et factoriel.

Il peut être muni de la topologie discrète associée à la distance usuelle induite par la valeur absolue de la différence, qui en fait un espace métrique complet. Les seules autres distances compatibles avec la structure d'anneau sont les distances p-adiques, où p est un nombre premier.

La structure de groupe additif (Z, +) est un groupe monogène sans torsion, c'est-à-dire un groupe abélien libre de rang 1.

L'ensemble Z est totalement ordonné pour la relation d'ordre usuelle.

Les entiers relatifs forment un ensemble dénombrable infini.

Extensions

L'ensemble Z des entiers relatifs se plonge dans l'ensemble des nombres décimaux, noté D, qui lui même est une partie de l'ensemble des nombres rationnels noté Q.

La notion d'entier est étendue par la définition des entiers algébriques, qui sont aux divers corps de nombres ce que les entiers relatifs sont au corps des rationnels. Les entiers rationnels, c'est-à-dire les entiers algébriques du corps des rationnels, sont donc exactement les entiers relatifs.

Pour chacune des distances p-adiques, le complété de Z est un anneau des entiers p-adiques noté Zp, dont le corps de fraction est le corps des nombres p-adiques, noté Qp et qui contient Q.

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