Groupe des classes d'idéaux - Définition
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Développement technique
Si A est un anneau intègre, définissons une relation ~ sur les idéaux non nuls de A par : I ~ J lorsqu'il existe des éléments non nuls a et b de A tels que (a)I = (b)J (ici, la notation (a) signifie l'idéal principal de A constitué de tous les multiples de a. On montre que celle-ci est une relation d'équivalence. Les classes d'équivalences sont appelées les classes d'idéaux de A. Les classes d'idéaux peuvent être multipliées : si [I] désigne la classe d'équivalence de l'idéal I, alors la multiplication [I][J] = [IJ] est correctement définie et est commutative. Les idéaux principaux forment la classe d'idéaux [A], qui sert d'élément neutre pour cette multiplication.
Si A est un anneau d'entiers algébriques OK, ou plus généralement un anneau de Dedekind, la multiplication définie ci-dessus munit l'ensemble des classes d'idéaux d'une structure de groupe abélien : on obtient le groupe des classes d'idéaux de A. La propriété d'existence d'éléments opposés pour la loi de groupe n'est pas immédiate, et nécessite un développement spécifique (voir idéal fractionnaire).
Le groupe des classes d'idéaux est trivial (c'est-à-dire qu'il contient seulement son élément identité) si et seulement si tous les idéaux de A sont principaux. Dans ce sens, le groupe des classes d'idéaux mesure un défaut de principalité de l'anneau A (est-il loin d'être un anneau principal?), et par conséquent a fortiori un défaut de factorialité : lui manque-t-il beaucoup pour que la propriété de décomposition unique en facteurs premiers soit vérifiée ? (les anneaux de Dedekind sont des anneaux factoriels si et seulement s’ils sont des anneaux principaux, cette propriété est démontrée dans cet article). Principalité et factorialité sont des propriétés de l'anneau Z des entiers rationnels ; le groupe des classes donne une première indication sur l'éloignement entre l'arithmétique de cet anneau et celle des anneaux d'entiers algébriques.
Le nombre d'éléments du groupe des classes d'idéaux (appelé nombre de classes de A) peut être infini en général. Cependant, si A est un anneau d'entiers algébriques inclus dans une extension finie de Q, un théorème affirme que ce nombre est toujours fini. C'est un des principaux résultats de la théorie algébrique classique des nombres. Le calcul effectif du groupe des classes est complexe. En général; il peut être fait à la main pour les corps de nombres de petit discriminant, en utilisant les propriétés géométriques de l'anneau. Ce résultat donne l'existence d'une borne telle que dans chaque classe d'idéaux, il existe un représentant, un certain idéal, dont la norme soit plus petite que cette borne. Sachant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux dont la norme soit plus petite qu'une borne donnée, il ne reste plus qu'un nombre fini de combinaisons à tester. Souvent, la borne n'est pas assez fine pour rendre le calcul praticable à la main dans un corps dont le discriminant est grand ; mais les ordinateurs suppléent efficacement le mathématicien dans cette tâche.
Pour continuer à étudier l'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques, il faut introduire un autre groupe : le groupe des éléments inversibles, appelé groupe des unités ; dans le cas des entiers rationnels, ce groupe est réduit à 1 et -1. Quelles nouvelles unités trouve-t-on dans les autres anneaux ? L'existence de nouvelles unités est une autre obstruction à ce que l'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques soit semblable à celle de Z.
Ces deux obstructions, groupe des classes et groupe des unités peuvent être liées comme suit : définissons une application de K\{0} vers l'ensemble de tous les idéaux fractionnaires différents de zéro de A en envoyant chaque élément du corps vers l'idéal (fractionnaire) principal qu'il engendre. Ceci est un homomorphisme de groupes ; son noyau est le groupe des unités de A, et son conoyau est le groupe des classes d'idéaux de A. La non trivialité de ces groupes, qui mesure la distance entre l'arithmétique de A et celle de Z, est précisément le défaut d'isomorphie de l'application.
L'association à un anneau d'entiers de son groupe des classes est fonctorielle, et le groupe de classes peut être interprété en termes de K-théorie algébrique : K0(A) est le foncteur assignant à A son groupe des classes d'idéaux ; plus précisément, K0(A) = Z x C(A), où C(A) est le groupe de classes. Les groupes Kn pour n plus élevé peuvent aussi être employés et interprétés arithmétiquement en relation avec les anneaux des entiers.
