Groupe des classes d'idéaux - Définition
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Connexions avec la théorie des corps de classes
La théorie des corps de classes est une branche de la théorie algébriques des nombres qui cherche à classifier toutes les extensions abéliennes d'un corps de nombres donné, ce qui signifie des extensions de Galois avec un groupe de Galois abélien. En particulier, un magnifique exemple est trouvé dans le corps de classe de Hilbert d'un corps de nombres, qui peut être défini comme l'extension abélienne maximale non ramifiée d'un tel corps. Le corps de classe de Hilbert L d'un corps de nombres K est unique et possède les propriétés suivantes :
- Chaque idéal d'un anneau d'entiers de K devient principal dans L, c'est-à-dire, si I est un idéal intègre de K alors l'image de I est un idéal principal dans L.
- L est une extension de Galois de K avec un groupe de Galois isomorphe au groupe des classes d'idéaux de K.
Aucune de ces propriétés n'est particulièrement facile à démontrer.
Voir aussi
- Anneau de Dedekind
- Idéal
- Idéal fractionnaire, norme et forme trace
- Théorie K algébrique
- Théorie des corps de classes
- Entier quadratique
