Anneau de Dedekind - Définition et Explications

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Introduction

Richard Dedekind définit et établit les bases de la théorie des anneaux portant maintenant son nom.

En mathématiques, un anneau de Dedekind est un anneau disposant de propriétés particulières. Sa formalisation initiale a pour objectif la description d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) d'entiers algébriques, ce concept est aussi utilisé en géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement,...).

Un anneau de Dedekind doit son origine à la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) algébrique des nombres. Pour résoudre des équations comme celle du dernier théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Fermat, l'anneau des entiers relatifs s'avère mal commode. Il est parfois plus simple de considérer d'autres anneaux, comme celui des entiers de Gauss, d'Eisenstein ou de Dirichlet. Le théorème des deux carrés de Fermat ou encore l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de Pell-Fermat illustre l'utilité d'une telle structure. Leurs études se fondent sur le cas particulier des entiers quadratiques, plus simple que le cas général.

Cette formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits...) est l'œuvre de Richard Dedekind et date de la fin du XIXe siècle.

Définitions

Quatre définitions sont nécessaires pour aborder celle de l'article.

  • Soient K un corps commutatif et A un anneau unitaire inclus dans K. Un élément k de K est dit entier sur A s'il est annulé par un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) unitaire à coefficients dans A.
  • L'ensemble des éléments de K qui sont entiers sur A forme alors un anneau contenant A, appelé la fermeture intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) de A dans K.
  • Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. Il se plonge dans son corps des fractions. (La méthode est l'analogue de celle permettant de construire l'ensemble des nombres rationnels à partir des entiers relatifs.) L'anneau A est dit intégralement clos s'il est égal à sa fermeture intégrale dans son corps des fractions.
  • Un anneau commutatif unitaire est dit noethérien si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) — Un anneau est dit de Dedekind s'il vérifie les propriétés suivantes :

  1. il est commutatif, unitaire, intègre,
  2. il est noethérien,
  3. il est intégralement clos, et
  4. tous ses idéaux premiers non nuls sont maximaux.

Exemples

Entier algébrique

Le premier exemple est donné par l'ensemble des entiers algébriques d'une extension finie du corps des rationnels. Une première famille d'anneau de cette nature est celle des entiers quadratiques correspondant aux entiers d'une extension quadratique. Deux cas particuliers simples sont les entiers de Gauss et ceux d'Eisenstein. Ces deux anneaux sont euclidiens et le groupe des unités est fini, et même cyclique. Les entiers de Dirichlet mettent en évidence une obstruction, le groupe des unités est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...). Les anneaux d'entiers quadratiques permettent d'analyser les deux obstructions et d'en comprendre leur nature à l'aide d'une étude plus simple que celle du cas général.

Un exemple très étudié est celui de la fermeture intégrale d'une extension cyclotomique, c'est-à-dire d'une extension contenant toutes les racines d'un polynôme cyclotomique (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, on appelle polynôme...). La théorie de Galois (En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est...) est particulièrement riche pour les corps de cette nature. Les extensions sont non seulement galoisiennes, mais aussi abéliennes.

Dans un cas un peu plus général, soit L une extension finie du corps Q des rationnels :

  • La fermeture intégrale B de Z dans L (c'est-à-dire l'intersection de L avec l'anneau des entiers algébriques) est un anneau de Dedekind, et son corps des fractions est L.

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) algébrique

Si les extensions finies des nombres rationnels contiennent des fermetures intégrales jouissant des propriétés d'un anneau de Dedekind, il en est de même pour les extensions finis de F(X). Ici F désigne un corps fini (En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps...) et F(X) le corps des fractions rationnelles. Cet ensemble est le corps des fractions des polynômes formels à coefficients dans F.

Une extension finie de F(X) est appelé un corps de fonctions. Il est possible d'y étudier les fermetures intégrales. Si les analogies sont nombreuses, l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) sur un corps de fonctions est souvent plus facile que sur un corps de nombres. Plusieurs raisons sont à l'origine de la simplification. Les valeurs absolues sur les corps de fonctions sont toutes ultramétrique, en revanche il en existe une archimédienne sur les nombres rationnels. Les corps de fonctions disposent d'un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) bien utile, la dérivation, qui n'existe pas pour les corps de nombres. Enfin, il est possible de considérer le produit tensoriel (Tenseur) \scriptstyle {F[X]\otimes F[X]}, qui n'a pas d'équivalent intéressant sur les corps de nombres.

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