Groupe des classes d'idéaux - Définition

Principe de la méthode

Recherche d'un point de petite norme dans un idéal

Cette figure illustre la recherche d'un entier algébrique μ non nul d'un idéal. L'objectif est de choisir μ de norme la plus petite possible.

L'objectif principal est de montrer que, pour une extension finie K de Q, où Q désigne le corps des rationnels, le groupe des classes de la fermeture intégrale O_K, c'est-à-dire l'anneau des entiers algébriques de K, est d'ordre fini. La méthode consiste à montrer l'existence d'une constante c tel que chaque classe contient un idéal de norme plus petite que c. Pour se faire, on considère un idéal M non nul et on cherche dans M un élément μ de plus petite norme possible, en valeur absolue.

La méthode consiste à considérer O_K comme un groupe additif. Si d est le degré de l'extension K sur Q, alors ce groupe est isomorphe à un réseau de R^d, c'est-à-dire à un groupe additif composée des vecteurs à coordonnées dans Z dans une base de R^d. Cette approche se fonde sur l'usage d'outils géométriques, on parle de géométrie arithmétique. Le théorème de Minkowski indique que tout convexe, symétrique par rapport au vecteur nul, de volume supérieur ou égal à 2^d fois le volume fondamental du réseau, contient au moins deux points non nuls du réseau. Le volume fondamental est celui du parallélépipède formé des vecteurs de coordonnées comprises entre 0 et 1 dans la base définissant le réseau. Cette technique est illustrée par la figure de droite. Le corps considéré est construit à partir des entiers du Q[√-17], le réseau est l'image de l'anneau par le morphisme de groupe qui à 1 associe (1, 0) et à ω, ici égal à √-17, associe (0, √17). L'idéal est celui des multiples de 2 dans O_K. Le volume fondamental de l'idéal correspond à la surface du rectangle illustré en rouge, il est égal à 4.√17, le disque vert possède une surface égale à 4 fois le volume fondamental, à savoir 16.√17. Le disque vert, d'après le théorème de Minkowski, contient au moins un point non nul μ de l'idéal, par exemple 4.

Cette figure illustre le choix de la norme dans le cas d'un corps totalement réel.

L'objectif est d'obtenir un entier algébrique de norme au sens arithmétique aussi petite que possible. Dans le cas où d est égal à 2, et si le corps n'est pas totalement réel, c'est-à-dire s'il est engendré par une racine négative, il est toujours possible de choisir une norme géométrique (celle utilisée pour le théorème de Minkowski) dont le carré est égal à la norme arithmétiquearithmétique. Ici, la norme arithmétique de l'entier algébrique μ est égal à 4² + 0.17 = 16. La surface du disque vert est égale à 64.√17 et donc le carré du rayon approximativement à 5,25. On sait donc qu'il existe un entier algébrique μ dans l'idéal M de norme arithmétique inférieure ou égale à 5, car la norme d'un entier algébrique est entière.

La démarche est analogue si le corps est totalement réel. Cependant, si d est égal à 2 et si la racine concerne un entier strictement positif (qui engendre un corps totalement réel), le choix du réseau précédent n'est plus opérationnel car la norme arithmétique s'exprime maintenant comme une différence de deux carrés. La technique utilisée consiste à associer à la base canonique de l'anneau (1, ω) les points (1, 1) et (ω, ω_c) où ω_c désigne le conjugué de ω. La figure de gauche illustre le cas où le corps K est Q[√17], ω est égal à 1/2(1 + √17) et son conjugué à 1/2(1 - √17). L'anneau est composé des nombres de la forme a + b.ω, avec a et b éléments de Z. Cet anneau est étudié dans l'article entier quadratique. Les points représentent les images de l'anneau dans le réseau, les points rouges représentent les images de l'idéal M des multiples de 2 dans l'anneau.

Dans le réseau choisi, la norme arithmétique d'un point correspond au produit de ses deux coordonnées, car la norme d'un entier quadratique α est égal à α.α_c (cf l'article Norme (arithmétique)). La zone des points de norme arithmétique inférieure, en valeur absolue, à une constante donnée, choisie égale à 4 sur la figure, est représentée en bleu. On remarque que cette zone ne peut correspondre ni à une boule pour une distance donnée, ni à une surface utilisable pour le théorème de Minkowski, elle n'est en effet pas convexe. Le convexe qui couvre au mieux la surface bleue est le carré vert de la figure. Il correspond à la distance qui, à (x, y), associe |x| + |y|. Une majoration de la norme géométrique fournit simplement une majoration de la norme arithmétique, en effet, si (α, α_c) sont les coordonnées de l'image d'un nombre de l'idéal et si N(α) désigne la norme arithmétique de α et ||.|| la norme géométrique définie plus haut :

On peut appliquer la même démarche que celle du cas précédent, on considère le disque de surface 4 fois celle du volume fondamental de l'idéal, c'est-à-dire dont le rayon au carré est égale à 2 fois le volume fondamental. Ce disque contient un point μ non nul de l'idéal M dont le carré de la norme géométrique est inférieur au double du volume fondamental, sa norme arithmétique est inférieure à la moitié du volume fondamental.

Usage du point de petite norme

On considère une classe C du groupe des classes, on va montrer qu'elle contient un représentant de norme inférieure à une constante c. Cette classe possède un inverse pour la loi du groupe, soit M un idéal élément de cet inverse. Comme tout idéal fractionnaire, multiplié par un idéal principal bien choisi, est égal à un idéal (cf Idéal fractionnaire), le choix de M est toujours possible. Le paragraphe précédent montre qu'il est possible de choisir un entier algébrique non nul μ, de petite norme arithmétique et dans M. L'idéal principal P engendré par μ est inclus dans M, ce qui montre que K = P.M ^-1 est un idéal. L'idéal P est principal, il est donc dans la classe de l'élément neutre, et K est dans la classe inverse de celle de M, donc dans celle de C. La norme de K est égale celle de P que divise celle de M, cette propriété de multiplication des normes d'idéaux est montrée dans l'article Norme (arithmétique).

Vu la manière dont on a construit μ, il apparaît une constante c indépendante de l'idéal M tel que la norme de P soit inférieure à c fois la norme de M. On a construit un idéal K dans la classe C de norme inférieure à c. Comme il n'existe qu'un ensemble fini d'idéaux de norme inférieure à une constante donnée, on a montré que le groupe des classes est d'ordre fini.

Le travail pour établir la démonstration de manière rigoureuse consiste à définir l'application qui relie l'anneau à un réseau de R^d, de construire une norme géométrique adéquate, qui tienne compte des deux configurations précédentes, de mesurer le volume d'une boule de rayon r pour cette norme, en vue d'appliquer le théorème de Minkowski. Puis il suffit de trouver une majoration adéquate de la norme arithmétique d'un entier algébrique dont l'image est dans la boule, et de conclure, guidé par le principe énoncé dans ce paragraphe. L'article détaillé contient une version plus simple de cette démonstration, car limitée à la dimension 2.