Groupe des classes d'idéaux - Définition

Introduction

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, la théorie des corps de nombres fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chacun de ces corps : son groupe des classes d'idéaux.

Histoire et origine du groupe des classes d'idéaux

Les premiers groupes de classes rencontrés en mathématiques furent des groupes de classes de formes quadratiques : dans le cas des formes quadratiques binaires, dont l'étude a été faite par Carl Friedrich Gauss, une loi de composition est définie sur certaines classes d'équivalence de formes. On obtient ainsi un groupe abélien fini.

Plus tard au XIX^e siècle, Kummer travailla à une théorie des corps cyclotomiques. Il comprit alors qu'il y avait une bonne raison pour que les tentatives de donner une démonstration complète du cas général du dernier théorème de Fermat par de simples méthodes de factorisation utilisant les racines de l'unité échouent : l'absence d'un analogue adéquat du théorème fondamental de l'arithmétique, dans les anneaux engendrés par ces racines de l'unité, était un obstacle majeur. La première étude de cette obstruction à la factorisation se trouve dans le travail de Kummer. L'obstruction obtenue par Kummer est, en langage contemporain, une partie du groupe des classes d'idéaux : en fait, Kummer a isolé la p-torsion dans ce groupe, pour le corps, dit cyclotomique, engendré par les p-racines de l'unité, pour tout nombre premier p, et l'a identifiée comme la raison de l'échec des tentatives classiques de résolution du problème de Fermat (voir nombre premier régulier).

Dedekind formula ensuite le concept d'idéal, que Kummer n'avait pas énoncé. Ce langage donnait un cadre pour l'unification des divers exemples étudiés notamment par Kummer. Il fut montré qu'alors que les anneaux d'entiers algébriques n'ont pas toujours une décomposition unique en facteurs premiers (ils ne sont notamment pas des anneaux idéaux principaux), ils possèdent la propriété que chaque idéal propre admet une unique décomposition comme produit d'idéaux premiers (c’est-à-dire, chaque anneau d'entiers algébrique est un anneau de Dedekind). Cette propriété est analysée dans l'article Idéal fractionnaire. Le groupe des classes d'idéaux est un outil théorique pour étudier la question : quels idéaux sont des idéaux principaux ? Il mesure en fait le défaut de principalité de l'anneau considéré, et, en particulier, tous les idéaux sont principaux, si et seulement si le groupe des classes d'idéaux (qui est un groupe fini, dans le cas des extensions finies des nombres rationnels) est réduit à un élément.

Exemples de groupes des classes d'idéaux

Les premiers anneau d'entiers algébriques contiennent un groupe des classes trivial. C'est le cas des entiers relatifs ou des entiers de Gauss, correspondant à l'ensemble Z[i] où Z désigne l'ensemble des entiers relatifs et i l'unité imaginaire. D'autres ensembles de cette nature permettent historiquement de résoudre quelques équations diophantiennes : les entiers d'Eisenstein ou ceux de Dirichlet correspondent à cette configuration.

Cette famille d'exemples correspond aux anneaux d'entiers de corps quadratiques, c'est-à-dire d'extensions quadratiques des nombres rationnels. Une question difficile est celle de l'identification des anneaux de cette nature ayant un groupe des classes trivial. La liste est initialement conjecturée par Carl Friedrich Gauss et démontré par Kurt Heegner dans le cas des corps quadratiques non totalement réel. Cependant, la démonstration d'Heegner ne fut pas reconnue jusqu'à ce qu'Harold Stark donne une démonstration en 1967, et que le même Stark montre que sa propre démonstration était en fait équivalente à celle de Heegner. Ce résultat est maintenant connu sous le nom de théorème de Stark-Heegner et est un cas particulier du problème du nombre de classes. D'autres anneaux d'entiers sur des corps quadratiques ne sont pas principaux. L'article détaillé élucide la structure de Z[i√5], qui possède un groupe de classes à deux éléments. La configuration générale du groupe des classes de l'anneau des entiers d'un corps quadratique est étudiée dans l'article Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique, qui offre un accès plus didactique à cette structure.

Si K est un corps, alors l'anneau polynomial K[X₁, X₂, X₃, ...] est intègre et possède un ensemble infini dénombrable de classes d'idéaux.