Histoire de la racine carrée - Définition

Monde arabo-musulman

Les mathématiques en langue arabe ont conservé et compris les mathématiques de la Grèce antique, c'est déjà un énorme mérite, elles auraient pu rester lettres mortes, comme par exemple les mathématiques babyloniennes. Le nestorien Hunayn ibn Ishaq (809~873) a très tôt traduit les Éléments d'Euclide, relu par le sabéen Thabit ibn Qurra (826~901), qui parlait grec. L'autre apport décisif est d'avoir assimilé les Mathématiques indiennes, en particulier l'écriture décimale positionnelle des nombres à l'aide des chiffres. Toutefois, il faut rappeler que si le perse Al-Khwarizmi (783~850) parle des chiffres indiens dans son algèbre (الجبر و المقابلة - Al-jabr wa’l-muqâbalah ou Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison), ses démonstrations restent verbales (Le carré de l'inconnue est nommé «le carré» ou mâl, l'inconnue est «la chose» ou shay ou jidhr, la constante est le dirham ou adǎd). Il propose le premier modèle systématique d'algorithmes de résolutions des équations linéaires et quadratiques. √2 est définitivement domestiqué, il n'a plus de mystère.

Monde indien

La Civilisation de la vallée de l'Indus (-2600~-1500), contemporaine de la Mésopotamie et l’Égypte ancienne a-t-elle connu √2 ? Son écriture n'a pas encore été déchiffrée, on peut tout au plus s'essayer à des conjectures sur la civilisation matérielle. La présence de briques normalisées (1x2x4) sur le même lieu que des règles précises au millimètre prouve la connaissance pratique de la réduction à l'unité. Ils savent rendre les longueurs commensurables, est-ce que la diagonale du carré leur a posé problème ? Il est dans l'état impossible de déduire les sciences spéculatives du savoir-faire des artisans. Mais la découverte d'un système de poids et mesures d'une grande précision et de caractère décimal, oblige à se demander ce que les mathématiques postérieures doivent à cette culture.

L'époque suivante (-1500~-400) est nommé védique, car elle est essentiellement connue par les Veda, des textes religieux dans une langue indo-européenne, le sanskrit. En appendice, on peut y trouver des Śulbasutras. Ce sont des règles pour construire un autel avec des proportions justes, avec ces mêmes briques de l'Indus, autorisant à se demander si ces textes ne compilent pas des traditions orales bien antérieures. S'il on veut que le sacrifice védique (yajña) plaise aux dieux, il doit être parfait, d'où la motivation à chercher l'exactitude des rapports, comme un temple grec. Les mathématiques ont donc un sens religieux, sans pour autant faire l'objet d'un culte d'un genre pythagoricien, encore moins de démonstrations. L'essentiel est que la règle fonctionne.

Dans son Śulbasutra 52, Baudhayana (-800) explique comment construire un carré d'aire double d'un carré donné, donc de côté √2, en une seule phrase : « qu'on augmente le côté du carré d'un tiers et cela de son quart diminué du trente-quatrième de lui-même ». La figure à construire n'est pas triviale, mais la valeur algébrique revient à 1 + 1/3 + 1/4 (1/3 - 1/34 x 1/3) = 1,414215…, précision à 5 décimales. La procédure n'est pas démontrée, il est même difficile de deviner comment elle a été découverte. Un indianiste note que la phrase indienne exacte utilise le mot sanskrit savi´e¸a, signifiant « excède ». Le rédacteur sait que son résultat est supérieur au nombre cherché, et même de combien, l'approximation résulterait d'un processus itératif avec pour étapes : Erreur math (erreur lexicale): \sqrt2 \approx 1 + \dfrac{1}{3} \approx 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4} \approx 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{34} \approx 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{34} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{34}.\dfrac{1}{1154}…

      (12 décimales de précision). L'obtention des signes (+/-) et des diviseurs (4, 34, 1154…) repose sur une procédure assez complexe démontrée avec de la géométrie et la proportion des briques ; mais avec au final très peu de calculs à effectuer. La construction d'autels s'est suffit de 5 décimales de précision.            

Il ne faut cependant pas surévaluer la postérité de ces résultats. Ils semblent avoir été abandonnés avec la religion védique. Après la conquête de la Bactriane par Alexandre le Grand (-328), une influence grecque s'est continuée jusqu'au début de notre ère (10) par le royaume indo-grec. Il s'y constitue un syncrétisme gréco-bouddhique évident dans la statuaire, mais les textes conservés ne permettent pas de déterminer si Euclide par exemple a attiré l'attention. Le bouddhisme mahayana diffusé depuis là dans le reste de l'Asie conserve des spéculations astronomiques, mais pas de contribution mathématique notable. Les historiens des sciences préfèrent insister sur le rôle du jaïnisme dans la renouveau classique des mathématiques indiennes, d'ailleurs plus au sud.

Dans le Brahmasphuta-siddhanta « Le système révisé de Brahma » de Brahmagupta (598-668) on trouvera le zéro, une méthode pour calculer les racines carrées et quelques algorithmes pour résoudre des équations du second degré. Ce livre est parvenu aux arabes.