Histoire des polynômes - Définition

Introduction

L'histoire des polynômes se confond avec celle de l'algèbre et celle de la résolution d'équations. Ils sont les outils privilégiés utilisés pour résoudre les problèmes tels que la résolubilité des équations, la constructibilité et le dernier théorème de Fermat.

Les fondements

Les mathématiques grecques sont essentiellement arithmétiques et géométriques. Les résolutions d'équations se font pratiquement sans symbolisme et avec une référence fréquente à l'aspect géométrique. On voit apparaître chez Diophante (250) un début d'écriture algébrique : l'inconnue (mathématiques) y est nommé Le Nombre et une lettre ξ lui est attribuée.

Durant leur séjour chez les mathématiciens de langue arabe, les mathématiques se détachent progressivement de la contrainte géométrique. C'est la naissance de l'algèbre que l'on attribue traditionnellement à al-Khawarizmi dans son ouvrage Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison. Il y décrit et résout les 6 équations canoniques du second degré ainsi que les méthodes pour s'y ramener. Il y distingue: la racine (X) , le carré (X²) et le nombre seul. Avec les travaux d'Abu Kamil, les calculs ne se font plus à l'aide seulement de rationnels mais les nombres réels positifs y prennent toute leur place. On voit apparaître alors une généralisation des opérations qui ne vont plus s'appliquer seulement aux nombres mais aussi aux inconnues. L'étude des équations se poursuit avec celle des équations cubiques chez Omar Khayyam et Sharaf al-Dīn al-Tūsī ( XIII ^e siècle). Dans les ouvrages d'Ibn al-Banna (1321), les polynômes de degré n sont représentés par la suite de leurs coefficients. La contrainte d'une homogénéité géométrique (X est une longueur, X² est une aire) disparait. Les raisonnements se font presque entièrement dans le domaine de l'algèbre.

En Europe, la recherche d'une symbolique se développe. Michael Stifel (1487-1567) utilise une inconnue privilégiée qu'il répète autant de fois qu'il le faut pour indiquer le degré. Cohabitent à cette époque, plusieurs symboles pour le plus (p ou +) et le - (m ou -) et le = (=, [ , S). En 1484, Nicolas Chuquet invente l'exposant : l'inconnue à la puissance 5 s'écrira I⁵. Cette notation sera reprise par Bombelli, Simon Stevin et Descartes. Viète (1540-1603) développe le calcul littéral, représente les inconnues par des voyelles et les paramètres par des consonnes et introduit les notations de la somme, du produit, du quotient, et de la puissance : B in A quadratum, plus D in A, aequari C se traduit ensuite par Descartes en bx² + dx = c. Tout est alors en place pour que se développe l'étude générale des polynômes.

Résolution générale des équations de degré n

On pourrait croire que le théorème d'existence des racines achève l'étude des polynômes. Cependant, un problème persiste : quelles méthodes peut-on employer pour les trouver? La résolution de l'équation du second degré, puis celle du troisième degré avec les formules de Cardan-Tartaglia (milieu du XVI^e) laisse présager qu'une méthode générale existe. Les équations du quatrième degré tombent grâce à Ludovico Ferrari (1522-1565). Reste le grand champ des équations de degré supérieur ou égal à 5. Des tentatives de changement de variables, pour se ramener à des degrés moindres sont menées en particulier par Walter von Tschirnhaus (en 1689), Leonhard Euler et Étienne Bézout.

Cependant, c'est dans une autre direction que la solution sera trouvée. Déjà, des résultats intéressants étaient connus sur racines et coefficients : les coefficients s'expriment, en fonction des racines, sous forme de polynômes symétriques. En 1770, Alexandre-Théophile Vandermonde étudie les permutations des racines dans l'expression des coefficients. C'est la naissance d'une nouvelle branche de l'algèbre : l'étude des permutations qui conduira Évariste Galois à construire la notion de groupe de permutations et de groupe en général. On peut citer dans cette voie les études de Paolo Ruffini, en 1813 et celle d'Abel en 1824 et 1826. Mais c'est à Évariste Galois que revient l'honneur de faire tomber la conjecture. Les équations de degré 5 et au-delà ne sont pas toujours résolubles par radicaux.