Méthode de Tschirnhaus - Définition

Introduction

La méthode de Tschirnhaus, imaginée et mise au point par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, est une tentative de résoudre le point clé de la théorie des équations à savoir trouver une méthode générale de résolution de l'équation polynomiale. Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.

Principe de la méthode

Considérons une équation de degré n :

Le principe de la méthode consiste à faire un changement de variable en posant :

Une transformation de ce type se nomme transformation de Tschirnhaus.

En éliminant x entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une équation de degré n et d'inconnue y dont les coefficients dépendent de . On va alors essayer de déterminer de façon à obtenir une équation en y plus simple à résoudre, par exemple de la forme :

Pour cela, dans l'équation en y, on pose égal à 0, tous les coefficients des monômes de degré 1 à n-1. On obtient ainsi un système de n-1 équations à n inconnues . Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans la relation :

Où y prendra successivement pour valeur l'une des n racines de c.

Nous nous sommes donc ramené à la résolution de n équations en x de degré n-1. Nous pouvons renouveler ainsi l'opération jusqu'à obtenir des équations de degré suffisamment bas pour pouvoir les résoudre.

Méthode particulière pour les équations du quatrième degré

Considérons l'équation générale du quatrième degré suivante :

En divisant par et en posant

on se ramène à une équation de la forme :

Considérons la transformation de Tschirnhaus suivante :

En éliminant z entre les deux relations précédentes, nous obtenons l'équation du quatrième degré en y suivante :

Nous voyons alors que nous pouvons obtenir à ce niveau une équation bicarrée du quatrième degré si p vérifie la relation :

C'est-à-dire si p est solution de l'équation du troisième degré:

Nous nous sommes donc ramené à la résolution d'une équation du troisième degré.

Prenons un exemple pour étudier de façon plus précise la méthode.

Soit à résoudre l'équation :

Posons :

En remplaçant dans l'équation, on obtient :

Considérons la transformation de Tschirnhaus :

En éliminant z par des produits membre à membre successifs (voir paragraphe précédent) entre les deux relations précédentes, nous obtenons :

Si l'on veut que cette équation soit une équation bicarrée du quatrième degré, nous voyons que nous devons choisir p parmi les racines de l'équation :

Cette équation admet pour racine évidente :

Nous choisirons donc :

La transformation de Tschirnhaus envisagé est donc :

Et par élimination de z avec l'équation :

On obtient :

En posant :

On se ramène à l'équation du second degré :

Qui a pour racines :

D’où l'on déduit les quatre valeurs de y suivantes :

Ces quatre valeurs de y reportées dans la transformation de Tschirnhaus envisagée nous donnent quatre équations du second degré :

Qui se simplifient respectivement sous la forme :

Ces quatre équations ont respectivement comme discriminant :

Chacune des quatre équations du second degré fournissant deux racines, on en déduit huit valeurs possibles pour z :

Seules les quatre valeurs :

Vérifie l'équation :

Les autres valeurs sont des racines parasites apparues lors des produits membre à membre effectués pour éliminer z plus haut.

En portant les quatre valeurs valides de z dans (*), on obtient :

Qui sont les quatre racines de l'équation que l'on s'était donné de résoudre.