Algèbre semi-simple - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une A-algèbre L, où A désigne un anneau, est qualifiée de semi-simple ou de complètement réductible si et seulement si la structure d'anneau associé à L l'est

Elle est présente dans de nombreuses branches mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), on peut citer l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...) l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...), la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des représentations d'un groupe fini celle des groupes de Lie ou celle des algèbres de Lie. Elle est, par exemple, utilisée pour démontrer le critère de réciprocité de Frobenius.

La théorie des algèbres semi-simples, se fonde sur le lemme de Schur (En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, le lemme de...) et le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) d'Artin-Wedderburn.

Définitions

Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) au long de cet article, les notations suivantes sont utilisées : A désigne un anneau unitaire non nécessairement commutatif, L une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) unitaire sur l'anneau A. K désigne un corps, non nécessairement commutatif et E un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...).

Plusieurs définitions sont nécessaire à la compréhension de la notion d'algèbre semi-simple (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une A-algèbre L, où...). Les définitions diffèrent un peu du cas des module semi-simples. Par exemple un module est dit simple s'il n'admet pas d'autres sous-module que lui-même et l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) nul. La situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) archétypale de l'algèbre simple est celle de L(E), l'ensemble des endomorphismes de E. Il admet de nombreuses sous-algèbres, par exemple si p est un projecteur (Le mot projecteur peut désigner les instruments d'optique suivants :), alors l'ensemble des endomorphismes de la forme poaa décrit les endomorphismes est une sous-algèbre, on utilise alors la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) suivante :

  • L'algèbre L est dite simple si et seulement si les seuls idéaux bilatères sont l'ensemble nul et L lui-même.

K est une algèbre simple considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. L'anneau des entiers Z n'est pas une Z-algèbre simple, en effet tout sous-module n.Z si n est un entier contient le sous-module 2.nZ. Cette définition se généralise aux modules, un module est dit simple s'il n'admet comme sous-module que lui-même et l'ensemble nul.

  • Soit F un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau....) de L, F est aussi appelé un facteur invariant.

Le corps des nombres complexes est une algèbre en tant qu'espace vectoriel réel, R l'ensemble des nombres réels est un sous-module simple mais n'est pas un facteur invariant au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de l'algèbre. Si E est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) deux de base (e1, e2) et si L est la K algèbre des endomorphismes ayant la base comme vecteurs propres, alors le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou...) de L ayant pour image de e1 le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) nul est un facteur invariant.

  • Soit F un facteur invariant, F est dit facteur direct si et seulement s'il existe un supplémentaire invariant par F.

Avant de donner la définition d'une algèbre semi-simple rappelons qu'un module est dit semi-simple si et seulement s'il est somme directe (En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe...) de facteurs invariants. La notation suivante est utilisée dans l'article LL désigne le module L sur l'anneau L.

  • Une algèbre L est dite semi-simple si et seulement si les modules LL à droite et à gauche le sont.

Cette définition induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de...) immédiatement la définition d'un anneau semi-simple :

  • Un anneau est dit semi-simple si et seulement s'il est semi-simple en tant qu'algèbre sur lui-même.

Exemples

Endomorphismes de E

  • L'ensemble des endomorphismes L(E) est une algèbre simple si E est un espace vectoriel de dimension finie.

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Burnside, il est démontré dans l'article Théorème d'Artin-Wedderburn.

Algèbre de groupe

Anneau Artinien

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