Algèbre semi-simple - Définition

Introduction

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une A-algèbre L, où A désigne un anneau, est qualifiée de semi-simple ou de complètement réductible si et seulement si la structure d'anneau associé à L l'est

Elle est présente dans de nombreuses branches mathématiques, on peut citer l'algèbre linéaire l'arithmétique, la théorie des représentations d'un groupe fini celle des groupes de Lie ou celle des algèbres de Lie. Elle est, par exemple, utilisée pour démontrer le critère de réciprocité de Frobenius.

La théorie des algèbres semi-simples, se fonde sur le lemme de Schur et le théorème d'Artin-Wedderburn.

Définitions

Tout au long de cet article, les notations suivantes sont utilisées : A désigne un anneau unitaire non nécessairement commutatif, L une algèbre unitaire sur l'anneau A. K désigne un corps, non nécessairement commutatif et E un espace vectoriel.

Plusieurs définitions sont nécessaire à la compréhension de la notion d'algèbre semi-simple. Les définitions diffèrent un peu du cas des module semi-simples. Par exemple un module est dit simple s'il n'admet pas d'autres sous-module que lui-même et l'ensemble nul. La situation archétypale de l'algèbre simple est celle de L(E), l'ensemble des endomorphismes de E. Il admet de nombreuses sous-algèbres, par exemple si p est un projecteur, alors l'ensemble des endomorphismes de la forme poa où a décrit les endomorphismes est une sous-algèbre, on utilise alors la définition suivante :

• L'algèbre L est dite simple si et seulement si les seuls idéaux bilatères sont l'ensemble nul et L lui-même.

K est une algèbre simple considéré comme un espace vectoriel sur lui-même. L'anneau des entiers Z n'est pas une Z-algèbre simple, en effet tout sous-module n.Z si n est un entier contient le sous-module 2.nZ. Cette définition se généralise aux modules, un module est dit simple s'il n'admet comme sous-module que lui-même et l'ensemble nul.

• Soit F un idéal de L, F est aussi appelé un facteur invariant.

Le corps des nombres complexes est une algèbre en tant qu'espace vectoriel réel, R l'ensemble des nombres réels est un sous-module simple mais n'est pas un facteur invariant au sens de l'algèbre. Si E est de dimension deux de base (e₁, e₂) et si L est la K algèbre des endomorphismes ayant la base comme vecteurs propres, alors le sous-ensemble de L ayant pour image de e₁ le vecteur nul est un facteur invariant.

• Soit F un facteur invariant, F est dit facteur direct si et seulement s'il existe un supplémentaire invariant par F.

Avant de donner la définition d'une algèbre semi-simple rappelons qu'un module est dit semi-simple si et seulement s'il est somme directe de facteurs invariants. La notation suivante est utilisée dans l'article _LL désigne le module L sur l'anneau L.

• Une algèbre L est dite semi-simple si et seulement si les modules _LL à droite et à gauche le sont.

Cette définition induit immédiatement la définition d'un anneau semi-simple :

• Un anneau est dit semi-simple si et seulement s'il est semi-simple en tant qu'algèbre sur lui-même.

Exemples

Endomorphismes de E

• L'ensemble des endomorphismes L(E) est une algèbre simple si E est un espace vectoriel de dimension finie.

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Burnside, il est démontré dans l'article Théorème d'Artin-Wedderburn.

Algèbre de groupe

Anneau Artinien