Orbifold - Définition

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Applications à la théorie des cordes

Lien avec les espaces de Calabi-Yau

Lorsqu'en théorie des supercordes on cherche à construire des modèles phénoménologiques réalistes, il est nécessaire d'effectuer une réduction dimensionnelle car les supercordes se propagent naturellement dans un espace à 10 dimensions alors que l'espace-temps de l'univers observable a seulement 4 dimensions apparentes. Les contraintes formelles de la théorie imposent néanmoins des restrictions sur l'espace de compactification dans lequel sont cachées les dimensions supplémentaires. Dans le cas où on cherche un modèle réaliste en 4 dimensions qui possède la supersymétrie alors l'espace de compactification doit être un espace de Calabi-Yau possédant donc 6 dimensions.

Il existe d'innombrables possibilités de Calabi-Yau différentes (des dizaines de milliers, en fait). Leur étude générale est mathématiquement très complexe et pendant longtemps il a été difficile d'en construire beaucoup explicitement. Les orbifolds sont alors très utiles car lorsqu'ils satisfont aux contraintes imposées par la supersymétrie que nous avons mentionnées alors ils constituent des exemples de Calabi-Yau dégénérés, du fait de la présence de singularités, mais néanmoins tout à fait acceptables du point de vue de la théorie physique. De tels orbifolds sont alors dits supersymétriques. L'avantage de considérer des orbifolds supersymétriques plutôt que des Calabi-Yau généraux est que leur construction est dans la pratique beaucoup plus simple d'un point de vue purement technique.

Il est alors très souvent possible, comme on va le voir ci-dessous, de relier un obifold supersymétrique possédant des singularités à une famille continue d'espaces de Calabi-Yau sans singularité.

Cas de T^4/\mathbb{Z}_2\, et K3

L'espace K3 possède 16 cycles de dimension 2 qui sont topologiquement équivalents à des sphères usuelles. Si on fait tendre la surface de ces sphères vers 0 alors K3 développe 16 singularités (cette limite se trouve au bord de l'espace de modules de cette variété). C'est à cette limite singulière que correspond l'orbifold T^4/\mathbb{Z}_2\, obtenu en quotientant le 4-tore par la symétrie d'inversion de chacune des coordonnées (c'est-à-dire x\rightarrow -x\, dans chaque direction).

Symétrie miroir

La symétrie miroir est un concept dont l'idée fut créée en 1988. Elle dit que deux espace de Calabi-Yau conduisent à la même physique si leur nombre de trous total dans toutes les dimensions sont égaux. Cela veut dire que même si leur nombre de trous n'est pas égal par dimensions, ils conduisent à la même physique si leur nombre de trous total est identique. J'entends par même physique, que des Calabi-Yau avec les mêmes nombres de trous au total conduit à un univers avec le même nombre de famille.

Opération

Cette technique fut inventée dans les années 80 par Dixon, Vafa, Witten et Harvey. L'opération d'orbifold consiste à créer une nouvelle forme de Calabi-Yau en reliant différents points du Calabi-Yau initial. C'est une méthode pour manipuler mathématiquement des espaces de Calabi-Yau en reliant certains de ces points. Mais ces manipulations sont si compliquées que les physiciens n'ont pas envisagé de la reproduire sur une forme aussi compliquée qu'un espace de Calabi-Yau dans toute sa splendeur.

L'opération d'orbifold n'est pas une transition géométrique comme la transition de flop ou la transition de conifold qui provoque des cataclysmes monstrueux comme des déchirures de l'espace-temps.

Conséquences

En identifiant ainsi certains points, l'espace de Calabi-Yau de « départ » (que nous appellerons α) et celui d'« arrivée » (que nous appellerons β) différent par leur nombre de trous dans chaque dimension : les trous des dimensions paires (2e, 4e, 6e dimension) de Calabi-Yau β était égaux au nombre de trous dans les dimensions impaires (1ère, 3e, 5e) du Calabi-Yau α et vice-versa ! Mais cela revient à dire que le nombre de trous total ne change pas. Mais cette inversion pair avec impair aboutit à des structures géométriques fort distinctes.

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